[设计艺术] 如何把画框挂在三颗钉子上，使得去掉任意一颗钉子，画框都会掉下去？

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[设计艺术]如何把画框挂在三颗钉子上，使得去掉任意一颗钉子，画框都会掉下去？

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看了Matrix67的博客 Matrix67: The Aha Moments 里面提到对于任意数量的钉子，一个都不能少的悬挂方法都是存在的，并且可以…

这是一个类似「T8模拟考」的题目，其来源于一类「挂画问题」。

考虑简单的情况，墙上有两颗钉子，通过绳子正常挂上去，如果一个钉子掉落，那么画还会挂在另一颗钉子上。

问题是如何把画挂起来，使得拔掉其中任何一颗钉子，画就会掉下来？
记顺时针绕第一颗钉子一周记作 a" role="presentation">aa ,逆时针绕第一颗钉子一周记作 a−1" role="presentation">a?1a^{-1} 。同理，记顺时针绕第二颗钉子一周记作 b" role="presentation">bb ，逆时针绕第二颗钉子一周记作 b−1" role="presentation">b?1b^{-1} ，那么下图的缠绕方法就是 aba−1b−1" role="presentation">aba?1b?1aba^{-1}b^{-1}

如果拔掉第一颗钉子就是将 a" role="presentation">aa 和 a−1" role="presentation">a?1a^{-1} 从 aba−1b−1" role="presentation">aba?1b?1aba^{-1}b^{-1} 中去掉，变成 bb−1=1(无缠绕)" role="presentation">无缠绕bb?1=1(无缠绕)bb^{-1}=1(无缠绕) 。同理拔掉第二颗钉子就会变成 aa−1=1" role="presentation">aa?1=1aa^{-1}=1 。
因此记 n" role="presentation">nn 个钉子的缠绕方式为 Sn" role="presentation">SnS_n ，则易知 n+1" role="presentation">n+1n+1 的情形为 Sn+1={Sn,xn+1}=Snxn+1Sn−1xn+1−1" role="presentation">Sn+1={Sn,xn+1}=Snxn+1Sn?1xn+1?1S_{n+1}=\{S_n,x_{n+1}\}=S_nx_{n+1}S_n^{-1}x_{n+1}^{-1} 。因此，当 n=3" role="presentation">n=3n=3 时，去掉任意一颗钉子使得画掉落的悬挂方式为
{{a,b},c}={aba−1b−1,c}=aba−1b−1c(aba−1b−1)−1c−1=aba−1b−1cbab−1a−1c−1" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">{{a,b},c}={aba?1b?1,c}=aba?1b?1c(aba?1b?1)?1c?1=aba?1b?1cbab?1a?1c?1\begin{align} \{\{a,b\},c\}&=\{aba^{-1}b^{-1},c\}\\ &=aba^{-1}b^{-1}c(aba^{-1}b^{-1})^{-1}c^{-1}\\ &=aba^{-1}b^{-1}cbab^{-1}a^{-1}c^{-1} \end{align}\\ 回到原题，其中 B" role="presentation">BB 选项对应的是 bab−1a−1" role="presentation">bab?1a?1bab^{-1}a^{-1} 。去除第一颗钉子为 aa−1=1" role="presentation">aa?1=1aa^{-1}=1 ，去除第二颗钉子为 bb−1=1" role="presentation">bb?1=1bb^{-1}=1 ，因此成立。
对于 C" role="presentation">CC 选项，对应的情况为 abca−1b−1c−1" role="presentation">abca?1b?1c?1abca^{-1}b^{-1}c^{-1} ，去掉任何一颗都不能让画掉落，因此不选择。

对于 D" role="presentation">DD 选项，对应的情况是 abcb−1c−1a−1cbc−1b−1" role="presentation">abcb?1c?1a?1cbc?1b?1abcb^{-1}c^{-1}a^{-1}cbc^{-1}b^{-1}
对公式进行化简
abcb−1c−1a−1cbc−1b−1=a(bcb−1c−1)a−1(bcb−1c−1)−1={a,bcb−1c−1}={a,{b,c}}" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">abcb?1c?1a?1cbc?1b?1=a(bcb?1c?1)a?1(bcb?1c?1)?1={a,bcb?1c?1}={a,{b,c}}\begin{align} abcb^{-1}c^{-1}a^{-1}cbc^{-1}b^{-1}&=a(bcb^{-1}c^{-1})a^{-1}(bcb^{-1}c^{-1})^{-1}\\ &=\{a,bcb^{-1}c^{-1}\}\\ &=\{a,\{b,c\}\} \end{align}\\ 如果对公式化简困难也可以分别去掉 aa−1,bb−1,cc−1" role="presentation">aa?1,bb?1,cc?1aa^{-1},bb^{-1},cc^{-1}
abcb−1c−1a−1cbc−1b−1a:abcb−1c−1a−1cbc−1b−1b:abcb−1c−1a−1cbc−1bc:abcb−1c−1a−1cbc−1b−1" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">abcb?1c?1a?1cbc?1b?1a:abcb?1c?1a?1cbc?1b?1b:abcb?1c?1a?1cbc?1bc:abcb?1c?1a?1cbc?1b?1\begin{align} &abcb^{-1}c^{-1}a^{-1}cbc^{-1}b^{-1}\\ a:&\phantom{a}b\color{blue}{c}\color{red}{b^{-1}}\color{green}{c^{-1}\phantom{a^{-1}}c}\color{red}{b}\color{blue}{c^{-1}}b^{-1}\\ b:&\color{red}{a}\phantom{b}\color{green}{c\phantom{b^{-1}}c^{-1}}\color{red}{a^{-1}}\color{green}{c\phantom{b}c^{-1}}\phantom{b}\\ c:&\color{red}{a}\color{green}{b\phantom{c}b^{-1}}\phantom{c^{-1}}\color{red}{a^{-1}}\phantom{c}\color{green}{b\phantom{c^{-1}}b^{-1}} \end{align}\\

因此选择 ABD" role="presentation">ABDABD
对于 n" role="presentation">nn 颗钉子的构造，可以发现随着 n" role="presentation">nn 的增大， Sn" role="presentation">SnS_n 需要展开的次数就更多，而 Sn" role="presentation">SnS_n 项数为 2n+2n−1−2" role="presentation">2n+2n?1?22^n+2^{n-1}-2 ，这意味着较多钉子的情况计算速度往往会指数级增加，不过 Ed Pegg Jr. 在这里给出了一个多项式的构造。
记一颗钉子时
E(i:i)=xi" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">E(i:i)=xiE(i:i)=x_i\\ 在添加一颗钉子的情况
E(i:i+1)={xi,xi+1}=xixi+1xi−1xi+1−1" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">E(i:i+1)={xi,xi+1}=xixi+1xi?1xi+1?1E(i:i+1)=\{x_i,x_{i+1}\}=x_ix_{i+1}x_i^{-1}x_{i+1}^{-1}\\ 对于任意的 i" role="presentation">ii 到 j" role="presentation">jj 的区间，有
E(i:j)={E(i:⌊i+j2⌋),E(⌊i+j2⌋+1:j)}" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">E(i:j)={E(i:?i+j2?),E(?i+j2?+1:j)}E(i:j)=\left\{E\left(i:\left\lfloor\frac{i+j}{2}\right\rfloor\right),E\left(\left\lfloor\frac{i+j}{2}\right\rfloor+1:j\right)\right\}\\ 例如
E(1:4)={E(1:2),E(3:4)}=E(1:2)E(3:4)E(1:2)−1E(3:4)−1=(x1x2x1−1x2−1)(x3x4x3−1x4−1)(x1x2x1−1x2−1)−1(x3x4x3−1x4−1)−1=x1x2x1−1x2−1x3x4x3−1x4−1x1x2x2−1x1−1x4x3x4−1x3−1." role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">E(1:4)={E(1:2),E(3:4)}=E(1:2)E(3:4)E(1:2)?1E(3:4)?1=(x1x2x1?1x2?1)(x3x4x3?1x4?1)(x1x2x1?1x2?1)?1(x3x4x3?1x4?1)?1=x1x2x1?1x2?1x3x4x3?1x4?1x1x2x2?1x1?1x4x3x4?1x3?1.\begin{align} E(1:4)&=\{E(1:2),E(3:4)\}\\ &=E(1:2)E(3:4)E(1:2)^{-1}E(3:4)^{-1}\\ &=(x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1})(x_3x_4x_3^{-1}x_4^{-1})(x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1})^{-1}(x_3x_4x_3^{-1}x_4^{-1})^{-1}\\ &=x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1}x_3 x_4x_3^{-1}x_4^{-1}x_1x_2x_2^{-1}x_1^{-1}x_4x_3x_4^{-1}x_3^{-1}.\end{align}\\ 在 n≥4" role="presentation">n≥4n\geq4 的情况下，展开的次数减少了并且这还是一个更短的答案，只使用了 16" role="presentation">1616 个符号。
另外，是否还有其他对应的方法？

对于上图中的 aba−1b−1" role="presentation">aba?1b?1aba^{-1}b^{-1} ，如果记 a,a−1" role="presentation">a,a?1a,a^{-1} 分别为如下图操作（对1号绳与2号绳进行不同方向的缠绕一圈）

而 b,b−1" role="presentation">b,b?1b,b^{-1} 同理，对2号绳与3号绳进行不同方向的缠绕一圈，那么 aba−1b−1" role="presentation">aba?1b?1aba^{-1}b^{-1} 等价于如下的绳结

此时将1、2、3号绳的两端首尾拼接，即得到 Borromean rings。

取下其中一环，其余的两环分离，也就是将「钉子」转化为「环」。
同样对于三颗钉子的情况如下

那么考虑更加一般的情况，如果希望在三颗钉子挂画的时候，使得拔掉任意一颗钉子不掉，但拔掉任意两颗钉子画掉，又该如何做呢？
其实答案已经给出了，就是原题的 C" role="presentation">CC 选项。

其对应为 abca−1b−1c−1" role="presentation">abca?1b?1c?1abca^{-1}b^{-1}c^{-1} 不难推出只剩一颗钉子的时候画会掉落，而只剩两颗钉子的时候就退化为原来的两颗钉子的挂画问题。
更一般地，考虑对 n" role="presentation">nn 颗钉子赋予布尔变量 xi,1≤i≤n" role="presentation">xi,1≤i≤nx_i,1\leq i\leq n 有
xi:={1,拔掉第i颗钉子;0,保留第i颗钉子;" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">拔掉第颗钉子保留第颗钉子xi:={1,拔掉第i颗钉子;0,保留第i颗钉子;x_i:=\begin{cases} 1,&拔掉第i颗钉子;\\ 0,&保留第i颗钉子;\\ \end{cases}\\ 同时定义极小失效集 ri" role="presentation">rir_i ，也就是拔掉最少的钉子使得画掉落构成的集合，有
f(r1,r2,…,rn)=r1∨r2∨⋯∨rn={1,画掉落;0,画悬挂." role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">画掉落画悬挂f(r1,r2,…,rn)=r1∨r2∨?∨rn={1,画掉落;0,画悬挂.f(r_1,r_2,\ldots,r_n)=r_1\vee r_2\vee\cdots\vee r_n=\begin{cases}1,&画掉落;\\0,&画悬挂.\end{cases}\\ 不难验证当 r1≤r1′,r2≤r2′,…,rn≤rn′" role="presentation">r1≤r1′,r2≤r2′,…,rn≤rn′r_1\leq r_1',r_2\leq r_2',\ldots, r_n\leq r_n' 时，有
f(r1,r2,…,rn)≤f(r1′,r2′,…,rn′)" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">f(r1,r2,…,rn)≤f(r1′,r2′,…,rn′)f(r_1,r_2,\ldots,r_n)\leq f(r_1',r_2',\ldots,r_n')\\ 也就是说 f" role="presentation">ff 是布尔单调递增函数，换句话说就是不存在「拔掉任意一颗钉子掉落，但拔掉两颗钉子却悬挂」类似的情况。
那么下面试着解决这个问题。
在三颗钉子挂画的时候，使得拔掉任意一颗钉子不掉，但拔掉任意两颗钉子画掉
首先给出极小失效集
\{\{x_1,x_2\},\{x_2,x_3\},\{x_3,x_1\}\}\\ 计算 f 得出
\begin{align} f&=(x_1\wedge x_2)\vee(x_2\wedge x_3)\vee(x_3\wedge x_1)\\ &=(x_1x_2)\vee(x_2x_3)\vee(x_3x_1)\\ &=(x_1x_2x_2x_3x_2^{-1}x_1^{-1}x_3^{-1}x_2^{-1})\vee(x_3x_1)\\ &=x_1x_2x_2x_3x_2^{-1}x_1^{-1}x_3^{-1}x_2^{-1}x_3x_1x_2x_3x_1x_2x_3^{-1}x_2^{-1}x_2^{-1}x_1^{-1}x_1^{-1}x_3^{-1} \end{align}\\ 又或着直接由极小失效集拼接
\begin{align} &\{\{x_1,x_2\},\{x_2,x_3\},\{x_3,x_1\}\}\\ \Rightarrow& (x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1})(x_2x_3x_2^{-1}x_3^{-1})(x_3x_1x_3^{-1}x_1^{-1})\\ =&x_1x_2x_1^{-1}x_3x_2^{-1}x_1x_3^{-1}x_1^{-1} \end{align}\\ 可以看出以上两种方法都不一定能计算出来最小解。
对于挂画问题，得出单调递增布尔函数后，也可以用互锁多边形(interlocked polygons)来解决。

看到最后，可以试着玩一下这些问题了，看看你能想到的最短的解法是什么？https://arxiv.org/pdf/1203.3602" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[1]
(1-out-of-3) 将一幅画挂在三个钉子上，移除任何一个钉子就会使该画掉落。
(2-out-of-3) 将一幅画挂在三个钉子上，拆下任意两颗钉子后，画就会掉落，但拆下任意一颗钉子后，画仍会挂着。
(1+2-out-of-3) 将一幅画挂在三个钉子上，去掉第一个钉子，画就会掉落，去掉第二个和第三个钉子也会掉落，但只去掉第二个或第三个钉子画仍然挂着。
(1-out-of-4) 将一幅画挂在四个钉子上，移除任何一个钉子就会使该画掉落。
(2-out-of-4) 将一幅画挂在四个钉子上，去掉任何两个钉子就会使画掉落，但去掉任何一个钉子后，画仍会挂着。
(3-out-of-4) 将一幅画挂在四个钉子上，去掉任何三个钉子就会使画掉落，但只要去掉一个或两个钉子，画仍会挂着。
(2+2-out-of-2+2) 将一幅画挂在两个红色钉子和两个蓝色钉子上，去掉两个红色钉子或去掉两个蓝色钉子后，画就会掉落，但去掉每种颜色的一个钉子，画仍会挂着。
(1+2-out-of-2+2) 将一幅画挂在两个红色钉子和两个蓝色钉子上，去掉任何一个红色钉子或去掉两个蓝色钉子后，画就会掉落，但只去掉一个蓝钉子，画仍会挂着。
(1+3-out-of-3+3) 将一幅画挂在三个红钉子和三个蓝钉子上，去掉任何一个红钉子或去掉所有三个蓝钉子，就会使画掉落，但只去掉一个或两个蓝色钉子，画仍会挂着。
(1+2-out-of-3+3) 将一幅画挂在三个红色钉子和三个蓝色钉子上，去掉任何一个红色钉子或去掉任意两个蓝色钉子，就会使画掉落，但只去掉一颗蓝色钉子，画仍会挂着。
(1+1-out-of-2+2+2) 将一幅画挂在两个红色钉子、两个绿色钉子和两个蓝色钉子上，去除两个不同颜色的钉子，就会使画掉落，但去除两个相同颜色的钉子，画仍会挂着。
@Daphnoretin
在评论区问到图是怎么绘制的，是里面大部分图使用 \LaTeX 绘制的，下面放出一些代码

%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{tikz}
%\usepackage{graphicx}
%\usetikzlibrary{knots}
%\usetikzlibrary{braids}

\begin{tikzpicture}[every path/.style={red,thick}, every node/.style={transform shape, knot crossing, inner sep=1.5pt}, scale=0.35]
\node (a) at (1.5,-0.1) {};
\node (b) at (-1.5,-0.1) {};
\fill[color=blue] (-1,2) circle (3pt);
\fill[color=blue] (1,2) circle (3pt);
\filldraw[fill=gray] (-2,0) -- (2,0) -- (2,-3) -- (-2,-3) -- cycle;
\draw (b) .. controls (-2,2) and (-1.5,2.5) .. (-1,2.5);
\draw (a) .. controls (2,2) and (1.5,2.5) .. (1,2.5);
\draw (-1,2.5) -- (1,2.5);
\end{tikzpicture}

%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{tikz}
%\usepackage{graphicx}
%\usetikzlibrary{knots}
%\usetikzlibrary{braids}

%a
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
    \filldraw[fill=gray] (-2,1) -- (2,1) -- (2,-2) -- (-2,-2) -- cycle;
    \fill[color=blue] (-1,3) circle (3pt);
    \fill[color=blue] (1,3) circle (3pt);
\begin{knot}[
consider self intersections=no splits,
end tolerance=0.5pt,
flip crossing/.list={},
clip width=0.5,
clip radius=1pt,
]
\strand[
red, double=red!20,
line width=0.4pt, double distance=0.7pt,
] (-1.5,1) to (-1.5,3) 
    to[out=90, in=90, looseness=1] (1.5,3)
    to (1.5,2.5)
    to[out=-90, in=-90, looseness=2] (-0.75,2.5)
    to (-0.75,3)
    to[out=90, in=90, looseness=2] (-1.25,3)
    to (-1.25,2.7)
    to[out=-90, in=-90] (1.25,2.7) 
    to (1.25,3)
    to[out=90, in=90, looseness=2] (0.75,3)
    to (0.75,1);
\end{knot}
\end{tikzpicture}

%b
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
    \filldraw[fill=gray] (-2,1) -- (2,1) -- (2,-2) -- (-2,-2) -- cycle;
    \fill[color=blue] (-1,3) circle (3pt);
    \fill[color=blue] (1,3) circle (3pt);
\begin{knot}[
consider self intersections=no splits,
end tolerance=0.5pt,
flip crossing/.list={},
clip width=0.5,
clip radius=1pt,
]
\strand[
red, double=red!20,
line width=0.4pt, double distance=0.7pt,
] (-1.5,1) to[out=90, in=180, looseness=0.5] (1,3.5)
    to [out=0, in=0 ,looseness=2] (1,2.5)
    to (-1,2.5)
    to[out=180, in=180, looseness=2] (-1,3.5)
    to[out=0, in=180, looseness=1] (1,2)
    to[out=0, in=-90, looseness=1] (2,3)
    to[out=90, in=0, looseness=1] (1,4)
    to (-1,4)
    to [out=180, in=90, looseness=1] (-2,3)
    to[out=-90, in=90, looseness=1] (1.5,1);
\end{knot}
\end{tikzpicture}

%c
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
    \filldraw[fill=gray] (-2,1) -- (2,1) -- (2,-2) -- (-2,-2) -- cycle;
    \fill[color=blue] (-2,4) circle (3pt);
    \fill[color=blue] (0,4) circle (3pt);
    \fill[color=blue] (2,4) circle (3pt);
\begin{knot}[
consider self intersections=no splits,
end tolerance=0.5pt,
flip crossing/.list={},
clip width=0.5,
clip radius=1pt,
]
\strand[
red, double=red!20,
line width=0.4pt, double distance=0.7pt,
] (-1.5,1) to[out=90, in=-90] (-3,4)
    to[out=90, in=90, looseness=1] (3,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=1] (-1.5,4)
    to [out=90, in=90, looseness=2] (-2.5,4)
    to [out=-90, in=-90, looseness=1] (0.5,4)
    to [out=90, in=90, looseness=2] (-0.5,4)
    to [out=-90, in=-90, looseness=1] (2.5,4)
    to[out=90, in=90, looseness=2] (1.5,4)
    to (1.5,1);
\end{knot}
\end{tikzpicture}

%d
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
    % \draw[help lines] (-5,-3) grid (5,7);
    \filldraw[fill=gray] (-2,1) -- (2,1) -- (2,-2) -- (-2,-2) -- cycle;
    \fill[color=blue] (-2,4) circle (3pt);
    \fill[color=blue] (0,4) circle (3pt);
    \fill[color=blue] (2,4) circle (3pt);
\begin{knot}[
consider self intersections=no splits,
end tolerance=0.5pt,
flip crossing/.list={},
clip width=0.5,
clip radius=1pt,
]
\strand[
red, double=red!20,
line width=0.4pt, double distance=0.7pt,
] (-1.5,1) to[out=90, in=-90] (-3,4)
    to[out=90, in=180, looseness=1] (-2,5)
    to(1.5,5)
    to[out=0,in=90, looseness=1] (2.5,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=2] (0.5,4)
    to[out=90, in=90, looseness=2.5] (-0.5,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=1.8] (3.25,4)
    to[out=90, in=90, looseness=1.5] (1,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=1.5] (-1.5,4)
    to[out=90, in=90, looseness=2] (-2.5,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=1.5] (1.5,4)
    to[out=90, in=90, looseness=1.5] (3,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=1.8] (-0.25,4)
    to[out=90, in=90, looseness=2] (0.25,4)
    to[out=-90, in=-90, looseness=2] (2.75,4)
    to[out=90, in=90, looseness=1.7] (-1,4)
    to[out=-90, in=180, looseness=1] (0,1.5)
    to[out=0, in=90, looseness=1] (1.5,1);
\end{knot}
\end{tikzpicture}

%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{tikz}
%\usepackage{graphicx}
%\usetikzlibrary{knots}
%\usetikzlibrary{braids}

\begin{tikzpicture}
\pic[
braid/anchor=center,
ultra thick,
braid/strand 1/.style={red},
braid/strand 2/.style={green},
braid/strand 3/.style={blue},
braid/floor 1/.style={floor/.pic={\path[pic actions,draw=black,dashed,thin] (0,0) -- (1,0);}},
braid/floor 3/.style={floor/.pic={\path[pic actions,draw=black,dashed,thin] (0,0) -- (1,0);}},
braid/floor 5/.style={floor/.pic={\path[pic actions,draw=black,dashed,thin] (0,0) -- (1,0);}},
braid/floor 7/.style={floor/.pic={\path[pic actions,draw=black,dashed,thin] (0,0) -- (1,0);}},
name=coords,
] {braid={ |s_{1}s_{1}|s_{2}s_{2}|s_{1}^{-1}s_{1}^{-1}|s_{2}^{-1}s_{2}^{-1} }};
\node[at=(coords-1-s), pin=1] {};
\node[at=(coords-2-s), pin=2] {};
\node[at=(coords-3-s), pin=3] {};
\node[at=(coords-1-e), pin=south:1] {};
\node[at=(coords-2-e), pin=south:2] {};
\node[at=(coords-3-e), pin=south:3] {};
\node[at=(coords-1-0), pin=west:$a$] {};
\node[at=(coords-1-2), pin=west:$b$] {};
\node[at=(coords-1-4), pin=west:$a^{-1}$] {};
\node[at=(coords-1-6), pin=west:$b^{-1}$] {};
\end{tikzpicture}

%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{tikz}
%\usepackage{graphicx}
%\usetikzlibrary{knots}
%\usetikzlibrary{braids}

\begin{tikzpicture}
\pic[
braid/anchor=center,
ultra thick,
braid/strand 1/.style={red},
braid/strand 2/.style={green},
braid/strand 3/.style={blue},
braid/floor 1/.style={floor/.pic={\path[pic actions,draw=black,dashed,thin] (0,0) -- (1,0);}}, 
name=ff
] {braid={ |s_{1}s_{1}}};
\node[at=(ff-1-s), pin=1] {};
\node[at=(ff-2-s), pin=2] {};
\node[at=(ff-1-e), pin=south:1] {};
\node[at=(ff-2-e), pin=south:2] {};
\node[at=(ff-1-0), pin=west:$a$] {};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\pic[
braid/anchor=center,
ultra thick,
braid/strand 1/.style={red},
braid/strand 2/.style={green},
braid/strand 3/.style={blue},
braid/floor 1/.style={floor/.pic={\path[pic actions,draw=black,dashed,thin] (0,0) -- (1,0);}}, 
name=gg
] {braid={ |s_{1}^{-1}s_{1}^{-1}}};
\node[at=(gg-1-s), pin=1] {};
\node[at=(gg-2-s), pin=2] {};
\node[at=(gg-1-e), pin=south:1] {};
\node[at=(gg-2-e), pin=south:2] {};
\node[at=(gg-1-0), pin=west:$a^{-1}$] {};
\end{tikzpicture}

%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{tikz}
%\usepackage{graphicx}
%\usetikzlibrary{knots}
%\usetikzlibrary{braids}

\begin{tikzpicture}
\begin{knot}[
clip width=4,
]
\strand [ultra thick, blue ] (1,0) circle (1.0cm);
\strand [ultra thick, red  ] (0,0) circle (1.0cm);
\strand [ultra thick, green] (0.5,1) circle (1.0cm);
\flipcrossings{3,4}
\end{knot}
\end{tikzpicture}

参考^Picture-Hanging Puzzles https://arxiv.org/pdf/1203.3602

高赞回答已经很清楚了，基本上大家都会参考论文：
Demaine E D, Demaine M L, Minsky Y N, Mitchell J S B, Rivest R L, P?tra?cu M. Picture-Hanging Puzzles[J].
Picture-Hanging Puzzles
这篇论文插图很漂亮，欢迎大家观摩。
我自己也根据此文进行总结归纳——简单来说，这是一个构造单调布尔函数的问题，并且毫无意外，这是一个NP-C问题。
不过它和Brunn链的关系很大，详情见下文。

B站有个翻译过来的双语视频。就是关于这个问题的。
【如何使用数学来（非常垃圾滴）挂相框-哔哩哔哩】 https://b23.tv/xoat0Bj
从两个钉子一直扩展到任意数量的钉子。还给出了非常通俗的解法。(?′ω`? )

三个钉子合并沉重等于画框的重量，少一个钉子就掉。这算是一个工程师想法。还有其它方法：想象在3维中也有不同的感觉钉子形状以及位置的解法

从数学上看就是n-punctured plane X_n=\mathbb R^2-\{{x_1,\cdots,x_n}\} 里找一个非平凡的圈，使得它在n个嵌入 i_k:\mathbb R^2-\{x_1,\cdots,x_n\}\to \mathbb R^2-\{x_1,\cdots,\hat{x_k},\cdots,x_n\} 诱导的映射 (i_k)_*:\pi_1({X_n})\rightarrow \pi_1(X_{n-1}) 下平凡，这就转化成一个群论问题，也就是要寻找 \bigcap_{k=1}^n\text{ker}(i_k:*^{n}\mathbb Z\to *^{n-1}\mathbb Z) ,不过这个东西有什么好的描述吗？

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