[自然科学] 如何理解 π?+π?≈e?？

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[自然科学]如何理解 π?+π?≈e?？

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这个精度也就是lg1919810≈2π的级别，不稀奇，总能凑上几个的。

你看，这个回答，就是为什么现在连Github Copilot，都已经学坏了的原因

是时候祭出这张图了

一般我们不管这个精度叫精细程度极高

不要说这种精度很低的
   π4+π5−e6" role="presentation">   π4+π5?e6~~~\pi^4+\pi^5-e^6≈−0.00001767345123210920." role="presentation">≈?0.00001767345123210920.\approx -0.00001767345123210920.
下面这些高精度的
   π−(2−22−24)2" role="presentation">   π?(2?22?24)2~~~\pi-\left( \frac{2-\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{4} \right)^2 ≈−0.00000432058238," role="presentation">≈?0.00000432058238,\approx-0.00000432058238,
   π−883−218" role="presentation">   π?883?218~~~\pi-\frac{\sqrt{883}-\sqrt{21}}{8} ≈0.000000125933366815771," role="presentation">≈0.000000125933366815771,\approx0.000000125933366815771,
   π−12564839995" role="presentation">   π?12564839995~~~\pi-\frac{125648}{39995}≈−0.0000000454975926847777," role="presentation">≈?0.0000000454975926847777,\approx-0.0000000454975926847777,
   π−2143224" role="presentation">   π?2143224~~~\pi-\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} ≈0.00000000100714711325660," role="presentation">≈0.00000000100714711325660,\approx0.00000000100714711325660,
   π−2865814615" role="presentation">   π?2865814615~~~\pi-\sqrt[15]{28658146} ≈−0.00000000022371868," role="presentation">≈?0.00000000022371868,\approx-0.00000000022371868,
   π−88858240318" role="presentation">   π?88858240318~~~ \pi-\sqrt[18]{888582403} ≈0.00000000001399735," role="presentation">≈0.00000000001399735,\approx0.00000000001399735,
   π−876995679620" role="presentation">   π?876995679620~~~\pi-\sqrt[20]{8769956796} ≈0.0000000000014812," role="presentation">≈0.0000000000014812,\approx0.0000000000014812,
   π−16570706552746197" role="presentation">   π?16570706552746197~~~\pi-\frac{165707065}{52746197} ≈−0.0000000000000001640." role="presentation">≈?0.0000000000000001640.\approx-0.0000000000000001640.
大都仅仅是巧合而已. 但精度更高的
   π−8015(625+5389)323308(625+5389)−389" role="presentation">   π?8015(625+5389)323308(625+5389)?389~~~\pi-\frac{80\sqrt{15}(625+53\sqrt{89})^{\frac{3}{2}}}{3308(625+53\sqrt{89})-3\sqrt{89}} ≈0.0000000000000000010023562880081498778451083" role="presentation">≈0.0000000000000000010023562880081498778451083\approx0.0000000000000000010023562880081498778451083
   228663517236794024140821029347477390786609545−π" role="presentation">   228663517236794024140821029347477390786609545?π~~~\frac{2286635172367940241408\sqrt{2}}{1029347477390786609545}-\pi ≈0.00000000000000000000000568242325601395950" role="presentation">≈0.00000000000000000000000568242325601395950\approx0.00000000000000000000000568242325601395950
   ln⁡262537412640768744163−π" role="presentation">   ln?262537412640768744163?π~~~\frac{\ln262537412640768744}{\sqrt{163}}-\pi ≈0.00000000000000000000000000000022373515038048" role="presentation">≈0.00000000000000000000000000000022373515038048\approx0.00000000000000000000000000000022373515038048
   π−ln⁡(147197952000(236674+3030361)3+744)427" role="presentation">   π?ln?(147197952000(236674+3030361)3+744)427~~~\pi-\frac{\ln(147197952000(236674+30303\sqrt{61})^3+744)}{\sqrt{427}} ≈0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000390939627695" role="presentation">≈0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000390939627695\approx0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000390939627695
   ∑n=1∞n3e2πn19−1−1166" role="presentation">   ∑n=1∞n3e2πn19?1?1166~~~\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{3}}{e^{\frac{2\pi n}{19}}-1}}-1166 ≈0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000004848406" role="presentation">≈0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000004848406\approx0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000004848406
∑n=1∞n3e2πn163−1≈2941299.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001153610" role="presentation">∑n=1∞n3e2πn163?1≈2941299.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001153610\begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{3}}{e^{\frac{2\pi n}{163}}-1}}\approx2941299.000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\&0000000000000000000000000000000000000000000000000001153610& \end{align}
却真的是有深刻数学原理的. 它们有些跟基本判别式有关，有些跟拉马努金级数有关，有些跟类数有关，有些还与模形式有关.

正巧前两天刚在哪里看过一个很棒的解释：
e6≈403=13∗31=(3+10)×3.1×10≈(π+π2)×π×π2=π4+π5" role="presentation">e6≈403=13?31=(3+10)×3.1×10≈(π+π2)×π×π2=π4+π5e^6\approx403=13*31=(3+10)\times3.1\times10\approx(\pi+\pi^2)\times\pi\times\pi^2=\pi^4+\pi^5

一点都不精细，第5位小数就不一样了，这就是一个普通的巧合而已。精细是有衡量标准的，不是光看绝对误差，还要结合约等式的复杂度。你这条等式整整用了11个字符，差不多有11!=39916800种，也就是接近4000万种排列组合。而5位小数0.00001相对于403(e^6的估值)来说，误差也在4000万分之1左右。你抽4000万次奖，中一次概率为4000万分之1的头彩，这很稀奇吗？
PS.至今为止，我看到的所有关于无理数的所谓巧合，都没有特别精细的，这也印证了背后真的有联系的无理数等式其实很罕见。这里的精细是指误差小到和等式长度完全不匹配。越长的等式就允许越多的其他可能的排列组合，就必然会有更小概率的巧合出现。比如你这条11个字的等式，如果能精确到20位小数，那说不定这式子未必是巧合，背后或许真的有我们还不知道的联系，如果精确到50位小数，那几乎可以排除巧合，要立马去研究研究了。但换一条长达100个字符的式子，精确到50位小数连巧合都不算，只能算拙劣的模仿，100位小数也只是普通的巧合，300位小数才要考虑未必是巧合的问题。脱离等式长度，光盯着数值的绝对误差来讨论巧合，没有意义。
PS.如果我前面说的式子长度和精度的关系，用排列组合说太抽象，你不完全理解，那你看看具体的实例吧。如果脱离等式长度只讲绝对误差，我也可以来一个关于e和π的巧合，3.14159265358979323846e-2.71828182845904523536π≈0。你算算精度，和你那个5位小数比一比，我这个是不是巧到米奇妙妙屋里去了？但你觉得我这式子比起π?+π?≈e?是更包含天才思考的结晶还是更烂大街？然后如果我把那两个小数继续写下去，你用脚趾头想想，等式精度是不是要多高有多高？什么，你觉得我这两个小数明显是故意编的？没关系，我稍微处理一下，比如两边各乘以1.4023，你一眼看上去还像编的吗？

著名下北泽公式

这是怎么一回事呢

因为真的很菜，比如关于一个著名的下北泽常数 log114514⁡1919810≈1.242030814663546" role="presentation">log114514?1919810≈1.242030814663546\log_{114514}{1919810}\approx 1.242030814663546 ，我们有如下估计成立
(1.1)log114514⁡1919810−17π43≈5.81×10−6" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">(1.1)log114514?1919810?17π43≈5.81×10?6\log_{114514}{1919810}-\frac{17\pi}{43}\approx 5.81\times 10^{-6}\tag{1.1} (1.2)log114514⁡1919810−3eln⁡π5π≈−4.58×10−9" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">(1.2)log114514?1919810?3eln?π5π≈?4.58×10?9\log_{114514}{1919810}-\frac{3\mathrm{e}\sqrt{\frac{\ln \pi}{5}}}{\pi}\approx -4.58\times 10^{-9}\tag{1.2} (1.3)log114514⁡1919810−75234π5/4ln⁡π≈1.35×10−10" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">(1.3)log114514?1919810?75234π5/4ln?π≈1.35×10?10\log_{114514}{1919810}-\frac{7\sqrt{5}}{2\sqrt[4]{3}\pi^{5/4}\ln\pi}\approx 1.35\times 10^{-10}\tag{1.3} (1.4)log114514⁡1919810−4(19+6e+2e2)3−7e+24e2≈−5.38×10−13" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">(1.4)log114514?1919810?4(19+6e+2e2)3?7e+24e2≈?5.38×10?13\log_{114514}{1919810}-\frac{4\left(19+6\mathrm{e}+2\mathrm{e}^2\right)}{3-7\mathrm{e}+24\mathrm{e}^2}\approx -5.38\times 10^{-13}\tag{1.4} 验证——

你这种小数点后5位精度级别的巧合造起来也太容易了，咱们搞工科的，只要你加钱，就算是指数函数我也能给你硬说成多项式（笑）

你这个精度还是太低了。
\pi^2\approx 227/23 （误差 3\times 10^{-5} ）
\pi\approx\left(9^2+19^2/22\right)^{1/4} （误差 10^{-9} ）
\pi\approx\dfrac{4e\sqrt[e]{e}}{5} （误差 10^{-5} ）
\displaystyle\int\limits_0^\infty\cos(2x)\prod_{n=1}^\infty\cos\frac{x}{n}\,\mathrm{d}x\approx \frac{\pi}{8} （误差 10^{-42} ）
e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768744 （误差 7\times 10^{-13} ）
事实上这些里面只有最后一个真正的有意义。你那个精度还是太低了。
倒数第二个其实也有一定意义，见 https://web.archive.org/web/20070418024214/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/tenproblems.pdf

巧合罢了