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[自然科学]如何直观的感受葛立恒数？ |
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如何直观的感受葛立恒数？ 关注问题?写回答 [img_log] 宇宙 葛立恒数 如何直观的感受葛立恒数？ 话题收录 |
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让我们假设我们有一粒沙子 这粒沙子很普通，和广袤沙漠中数之不尽的沙子相比，没有任何特异之处。 它很小，小得几乎看不见。 |
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Fig1.沙子只有0.5mm，为了看清，把它画大一点 它是如此渺小，以至于一阵风就能把它吹走。 但它很重要，它是我们的起点。 因为它就是1，或者说： 10^{0} 理解起来没有任何困难，对吧？ 做好准备了，接下来我们要开始向大数领域迈进。 首先是 10^{6} ，或者说一百万。 如果我们把上图的沙子，按照100×100×100摆成一个立方体，就能得到下图这样一个沙块。 |
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Fig2. 这是100万粒沙子，边长5cm，净重0.5Kg 我们一次性跨越了6个数量级，沙子也从微观立刻变成了宏观。 但是它还是很小，重量甚至只有1斤。 这还不够，远远不够，我们不能在此停留。 这次我们需要 10^{12} 个沙子。 换言之，我们要按照刚刚的办法，把沙块按照100×100×100摆放。 |
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Fig3. 10^12数量的沙子，注意图中每个点是Fig2中整个立方体 很好，我们的沙子逐渐宏伟了起来。 10^{12} 的沙子，做成沙块时边长足有5m，这是成年长颈鹿的高度。 这么多沙子，足够在小区里整个儿童乐园了。 值得一提的是，这些沙子重达500吨，超过了世界上最重的蓝鲸（180吨）。 超大型货车载重30吨，你得雇17辆这样的车，才能装走这么多沙子。 10^{12} 是令人留恋的，毕竟这将是我们最后可以用自己的身体尺度去丈量的地方。 来不及长吁短叹，我们必须启程了，前往 10^{18} 。 |
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Fig4. 10^18个沙子，参照物是埃及最大的金字塔——胡夫金字塔 作为一个直径500m的巨大沙堡，它的存在本身已经不可能被蓝星上的人类忽视了。 胡夫金字塔高146m，一向被视为人类九大奇迹之一。 但它在这个沙堡面前显得小鸟依人，仿佛郭敬明站在姚明身畔。 当然了，跟现代文明所建造的个别高楼相比，它还不够高大。 哈利法塔高达828m，是世界第一高楼，而作为中国第一高的上海中心大厦也有632m。 但是负责任地说，它的重量5亿吨，绝对远远超出侪辈。 哈利法塔据估计也就10万吨，毕竟不能使用太重的材料，否则建不了那么高。 其实我们的沙堡已经违背了物理学，因为它没有那么大的结构强度支撑自己的形状。 金字塔造成锥形可不是为了方便千年后的游客参观。 闲言少叙，让我们继续吧，来看看 10^{24} 的沙子是什么样？ |
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Fig5. 把10^24的沙子放在上海地图上的样子 这是一个边长50Km的巨大沙块。 它与上海直接接触的面积达到2500平方千米，而上海市的面积是6340平方千米。 我对象住金山，所以我特别当心，尽量不压到金山区的人民。 如果你有讨厌的人，住在上海，可以私信我帮你压死他。 值得一提的是，这个沙块已经可以在卫星轨道被人眼直接看见了。 |
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Fig6. 看见那个小小的方块了吗，我放在北京的位置了 或许有人嫌我啰嗦了，但是对不起，是你们自己想要直观地感受大数。 而且，我们还远远没有来到大数的范畴。 因此我们得赶紧启程了，下一个目标： 10^{30} ！ 来吧！ |
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Fig7. 创4你们所有人 终于，地球上所有的沙子也不够用了。 因此这 10^{30} 个沙子，其中90%都是贷的。 反正挂都开了，无所谓了。 我也懒得和你说这是多少千米巴拉巴拉，有多重巴拉巴拉。 你只需要知道特别大，特别重就好了，足够了。 OK，快马加鞭，继续来看 10^{36} 。 |
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Fig8. 地球与月球的平均距离是 384403.9Km，太阳的直径是1392000Km 好家伙，我们的沙块快要赶上太阳的大小了，简直逆天。 必须提一嘴，为了看清地球月球，这张图里的哥俩被我画大了一点。 真实比例下，图中的地球和月球都会小到几乎看不见。 毕竟地球和月球之间的距离足以放下太阳系八大行星。 |
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Fig9. 真实地月比例 同时，我们不得不停下来讨论一下。 10^{36} 的沙块已经拥有了非常惊人的大小。 它的质量同样惊人，是 5×10^{29} 千克，而太阳是 2×10^{30} 千克。 换言之它已经有了1/4个太阳的重量。 不出意外的话，当我们到下一站的时候，它就已经会坍缩成一个黑洞了。毕竟等重量的黑洞的史瓦西半径比它还大。 不过这是一个数学话题，我们将无视一切物理定律。 前进，前进，不择手段地前进！ |
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Fig10. 水星轨道半径5971万千米 来了，这是 10^{42} 个沙子，同样的，太阳和水星被我画大了，原因同上。 我们的沙块有25万太阳的质量，也就是 5×10^{35} Kg R=\dfrac{2GM}{c^{2}} 这是计算黑洞史瓦西半径的公式，G是万有引力常数，c是逃逸速度（光速）。 代入可得 R=7.8×10^{18} m 已经超过现在的沙块边长 5×10^{10} m 很好，这玩意果然已经是个黑洞了。 没办法，让我们继续吧。 |
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Fig11. 10^48个沙子，依旧，图中的天体比例失真 我的朋友们，我们即将告别常规天体的舞台。 因为这个 10^{48} 沙块的边长达到了可怕的50亿千米，我不得已在图中使用了科学计数法。 这已经超越了迄今为止人类观察到的最大的恒星盾牌座UY的大小，后者的直径是23.79亿千米。 巨大的沙块边长甚至达到了冥王星的轨道半径。 这是什么概念呢？ 飞机的巡航速度是832Km/h，就按时速900公里算吧。 如果你坐着这样一架飞机，从沙块的一个角飞往最近的另一个角。 这需要耗费634年的时间。 流浪地球计划需要2500年，你这也不赖，高低封个流浪沙雕计划。 |
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还没到休息的时候。 来吧， 10^{54} 的沙块来了。 这是一个边长 5×10^{11} Km的沙块，这个距离约为0.0529光年。 你也别坐飞机了，你就是光速也得20天才能飞过去。 让我们跳跃一下，直接看 10^{72} 的沙块，边长将是 5×10^{17} Km，或者说5.29万光年。 银河系的直径是10~18万光年。 所以直观地看就是这样： |
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Fig12. 《重生之我在银河系堆沙子》 也不啰嗦本星系群和室女座超星系团了，毕竟大多数人不了解。 花半天时间讲，到最后还是不直观。 直接来吧，让我们看看塞满整个宇宙需要多少沙子？ 可观测宇宙的直径是930亿光年，也就是 8.8×10^{23} Km。 如果我们用 10^{92} ，沙块的边长将是 5×10^{23} Km |
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Fig13. 或许还有点勉强 因此我们需要用到 10^{93} 粒沙子，此时我们的沙块边长是可怕的 1.1×10^{24} Km |
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Fig14. 完全超过宇宙直径，至此我们可以确保填满宇宙 综上所述，理论上，整个宇宙都无法装下 10^{93} 粒沙子。 当然了，这里指的是可观测宇宙，因为我们无法确定宇宙在扩张热寂还是在收缩重启。 同时必须认识到， 10^{93} 其实早已远远超出宇宙中的基本粒子数目 10^{80} 。 这是因为太空太空了，所以这倒不值得大惊小怪。 有什么感想吗？ 纵横无极为宇，古往今来为宙。但是这也太小了，小到甚至装不下 10^{93} 粒沙子。 而此刻我们即将迎来一个伟大的数字，它象征着大数领域的开端。 古戈尔数。 古戈尔数是 10^{100} ，它是美国数学家爱德华为了向侄子说明巨大，而与侄子一起发明的大数。 古戈尔有多大？ 直观地看，它有这么大： 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。 对于可以被直接写出来的大数，我们一般统称为垃圾。 但是别忘了，即便这个垃圾，也超越了宇宙的尺度。 |
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怎么去感受古戈尔数呢？ 我们必须再一次用 10^{93} 粒沙子把宇宙填满。 并且，从此刻起，每粒沙子都由1千万（ 10^{7} ）个“小沙壁”组成。 那么，我们的宇宙里，将有10^{100} 个小沙壁。 你也别管啥是“小沙壁”，反正是规定出来的。 |
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古戈尔数只是一个垫脚石。 谁的垫脚石？古戈尔普勒克斯的垫脚石，后者是： 10^{10^{100}} ，也就是以10为底，古戈尔数为指数的数字。 也可以记作： 10^{10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000} 正如我们之前所提到的，古戈尔已经超越了宇宙里原子的总数。 因此在正常的宇宙里，古戈尔普勒克斯不能像古戈尔一样直接写出来（0的数目无法写完）。 但是在我们的沙子宇宙里可以。 如果我们在每个“小沙壁”上写个0（注意，每粒沙子包含1000万的小沙壁） 当我们写完所有 10^{93} 的沙子后，再写一个1，我们将写完古戈尔普勒克斯。 我试过，大概1秒能写三个0。 但是只靠宝之大者是不够的，我们需要更多人手。 |
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整个人类史，加上智人，大概有1150亿人曾经在地球上活过。 人数不少了吧，但是我们还需要更极端一点。 所有人都从出生起开始写0，并且一天工作24小时，并且强迫所有人活到80岁才能死。 （撒旦听了直呼人间才是地狱） 每个人一生将可以写3×60×60×24×365×80=7568640000个小沙壁。 这大概是750粒沙子。 那么我们全人类将可以写掉 8.625×10^{13} 粒沙子。 这大概是一个边长21m的立方体。 |
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Fig15. 蓝鲸的体长是26m，作为参考 真亲切，又看到人类尺度的东西了。 然而别忘了，沙子遍布整个宇宙，而我们仅仅完成了一个21×21×21的立方体。 也就是说，即便全人类一秒都不休息，从出生的那一刻起每秒都在写0。 最终也没能写完古戈尔普勒克斯。 说得更确切一点，古戈尔普勒克斯已经是超越了现实意义的大数，并且无法被人类认知直接感受。 而理解古戈尔普勒克斯的巨大，仅仅是我们扣响葛立恒数大门的准备。 毕竟和真正的大数相比，古戈尔普勒克斯实在有点费拉不堪。 G\left( 1\right) =3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 不科普高德纳箭头了，直接从 3\uparrow \uparrow 3 说起。 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=7625597484987 90%的人了解葛立恒数，只能了解到 3\uparrow \uparrow 3 有多大，后面开始就变成听天书了。 这不奇怪，因为 3\uparrow \uparrow 3 确实是一个分水岭。 大多数文章讲完 3\uparrow \uparrow 3 就会开始说 3\uparrow \uparrow \uparrow3 ，而后者 =3\uparrow \uparrow \left( 3\uparrow \uparrow 3\right) ，这太跳跃了 在这篇经典的文章里[1]， 3\uparrow \uparrow \uparrow 3 被称为“爆太阳菊”，十分形象。因为这个指数塔的高度写完以后可以戳到太阳。 |
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Fig16. 每隔2cm写个3，一共7.6万亿层写完就能从地球戳到太阳的菊 也别纠结比例了，首先我就写不下7.6万亿个3，图中也就写了60个3。 “爆太阳菊”是一个无法形容的超大的数字，甚至毫不夸张地说，90%的挑战葛立恒数的人都未能超越它。 因此，如果说完3\uparrow \uparrow 3 就开始说 3\uparrow \uparrow \uparrow3 只能让读者知道G（1）很大，大得不可想象，葛立恒数更大，大得难以言喻。 但是究竟有多大就不知道了。 不妨停下来思考一下，3\uparrow \uparrow 3是7.6万亿，那么， 3\uparrow \uparrow 4 有多大？ 直观上应该大不了多少吧？ 让我们检查一下： 3\uparrow \uparrow 3=3^{27}= 7.6万亿 3^{28}= 22.8万亿 如果你听过“指数爆炸”这个名词，你就会知道指数的增长将引起数值的巨大改变。 3^{168}=1.43\times10^{80} （宇宙中原子的总数） 仅仅从28增加到168，就又一次突破了宇宙的尺度。 那么， 3^{200} 得有多大？更进一步的， 3^{1000} 有多大？ 反正挂已经开了，直接来吧， 3^{7625597484987} 得有多大？ 为什么突然冒出这么个不丁不八的数字？因为这tm的就是 3\uparrow \uparrow 4 的数值。 它有多大？它是一个3.6万亿位的数字。 明白了吗？为什么别人只告诉你 3\uparrow \uparrow 3 而不讲 3\uparrow \uparrow 4 ？因为前者已经是能直接被写出来并理解的最后一个数字了。 还记得古戈尔数吗，那个长得不得了的东西。 3\uparrow \uparrow 3＜ 古戈尔 \ll3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}} 仅仅3层的指数塔，就把曾经为了定义大数而发明的古戈尔侮辱。 |
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那么曾经那个不可一世的古戈尔普勒克斯呢？ 那个全人类一起在沙子上写0，最终都只能徒呼负负的古戈尔普勒克斯呢？ 坦白地讲， 3\uparrow \uparrow 4 确实还杀不了古戈尔普勒克斯。 但是我们只需简简单单的把数字改成5，后者就也得接受被侮辱的命运。 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\gg 古戈尔普勒克斯 指数塔仅仅增加一层，带来的是毁天灭地的改变。我没法向你说明 3\uparrow \uparrow 5 有多么地碾压古戈尔普勒克斯。 如果用比尔盖茨之于我的存款来比喻，仍旧是在侮辱 3\uparrow \uparrow 5 之于古戈尔普勒克斯。 有的人会说，怎么老是侮辱别人？ 没办法，指数塔这鬼东西就是不讲理。毕竟所谓不可一世的古戈尔普勒克斯，用指数塔表示也无非就是 10^{10^{10^{2}}} ，一个只有3层的指数塔。 在大数的领域，往往不存在针锋相对，亦或是旗鼓相当。有的，就只有侮辱，把你摁在地上踩成齑粉的侮辱。 所以，根本不需要什么 3\uparrow \uparrow \uparrow3 ，区区一个 3\uparrow \uparrow 5 已经凌虐人类的认知，践踏人类的想象。 而 3\uparrow \uparrow 5 之于 3\uparrow \uparrow \uparrow3 是什么样子？ 让我们直观地画出爆太阳菊的 3\uparrow \uparrow \uparrow3 和 3\uparrow \uparrow 5 。 |
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Fig17. 仔细看，这微乎其微的几层，就足够侮辱古戈尔普勒克斯 3\uparrow \uparrow 5 只是地球到太阳这个距离的几厘米长的部分。实在是微不足道。 不妨构造函数 f\left( x\right) =3\uparrow \uparrow x 当x=1的时候，结果就是3，很小。 当这个x是2时，结果是27也不大。 但是x=3的时候，结果就已经是7.6万亿。 x=4的时候，它可以侮辱古戈尔。 x=5的时候，它侮辱古戈尔普勒克斯。 当x=7.6万亿的时候，它真就想侮辱谁侮辱谁。而这个结果，就是大名鼎鼎的爆太阳菊。 至此，我们才仅仅是感受了葛立恒数的计量单位“爆太阳菊”的战斗力，这还仅仅是 3\uparrow \uparrow \uparrow3 。 仅仅一个计量单位，已经突破了人类认知的极限。 |
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事情有多离谱？打个比方的话，就是你接受了5分钟的搏击训练后，教练说要给你安排一个离谱的对手，是外国人。 你寻思了一下：有多离谱，泰森啊？ 教练摇摇头：不是，灭霸。 同样的，讲完 3\uparrow\uparrow\uparrow3 就讲 3\uparrow \uparrow \uparrow\uparrow3 同样太过于跳跃了。 我必须先说说 3\uparrow \uparrow \uparrow4 。 3\uparrow \uparrow \uparrow4=3\uparrow\uparrow（3\uparrow\uparrow（3\uparrow\uparrow3））=3\uparrow\uparrow（3\uparrow\uparrow7625597484987） 这个括号里面的就是我们熟悉的 “爆太阳菊”，这次它变成了指数塔的层数。 层数！太可怕了！是层数！如果7.6万亿的高度是爆太阳菊，那爆太阳菊的高度绝对可以爆古戈尔普勒克斯个…古戈尔普勒克斯个可观测宇宙（括号里可以有古戈尔普勒克斯个，反正仍然弗如远甚） 我头一次觉得现代汉语的词汇是如此匮乏，缺乏一个可以直接把读者吓疯的成语。而这个成语才是我需要的 再看一眼我们的函数，f\left( x\right) =3\uparrow \uparrow x 当x=7.6万亿的时候，f（x）的结果是 3\uparrow \uparrow \uparrow3 （也就是爆太阳菊）就已经大得无法无天。 这次是把爆太阳菊当成x输入进去，出来的结果（ 3\uparrow \uparrow \uparrow4 ）已经无法找到合适的汉语词汇来形容了。 然后，如果把无法形容当成x输入进去，出来的结果就是 3\uparrow \uparrow \uparrow5 ，这尼玛已经只能用荒谬无稽来形容了。 |
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如果你能理解我在说什么，那就接着往下看，不然就听个结论也行。 就这样，我们一层一层地套娃，反正f（x）的结果早就已经不能形容。每次迭代的结果都能侮辱输入进去的数字。而任何一个输入进去的数字都超越人类的认知。 上面说的这个恐怖的迭代，其实就是在 f\left( x\right) =3\uparrow \uparrow\uparrow x 这个函数的基础上令x的数值+1。 有没有感受到箭头数增加的可怕？仅仅3个箭头的运算级别，就能产生天翻地覆的变化。 终于，我们该看看 G\left( 1\right) =3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 有多大了 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow \uparrow（3 \uparrow \uparrow \uparrow3） 也就是把爆太阳菊 （3\uparrow\uparrow\uparrow3） 直接输入到 f\left( x\right) =3\uparrow \uparrow\uparrow x 这个函数里 当把 x=3 输入进去的时候， f（x）= 爆太阳菊 现在是直接把爆太阳菊输入进去了。 注意，不是把爆太阳菊输入到 f\left( x\right) =3\uparrow \uparrow x 里，要多整整一个箭头。 什么概念？还记得我们上面的迭代过程吗？每次把上次的结果当做输入的x，再得出一个f（x）的这个迭代。 G（1）的概念，就是要我们迭代爆太阳菊次。 |
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Fig18. 每迭代1次，就从离谱变成出离离谱，再从出离离谱变成非常出离离谱，再从非常出离离谱变成无比非常出离离谱。再从无比非常出离离谱变成超级无比非常出离离谱 这个迭代的过程需要重复 3\uparrow\uparrow\uparrow3 次，甚至连次数人类也不能理解。 毕竟人类能理解的领域，就到 3^{3^{3}} 为止了，多一层都不行了。 至此，你已经勉强窥见G（1）的一鳞半角。 想要用宇宙堆沙子的方式让人类理解古戈尔普勒克斯都不是一件易事，而小小的 3\uparrow\uparrow5 就已经把古戈尔普勒克斯侮辱了。 更可怕的是，对葛立恒数而言，G（1）甚至是最温柔的一层。毕竟所有的省略号仅仅代表迭代的次数。 而G（2）开始，可就是箭头数了。 G（1）一共4个箭头就已经令人抓狂了，而G（2）的箭头数是G（1）。 真的是妈妈的弟弟去世，没舅了。 |
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每层的箭头数由上一层得出 很遗憾，讲到后面，仍然无法让读者直观感受葛立恒数。 但笔者相信，目前不存在让人类直观感受葛立恒数的手段。 葛立恒数就只应该存在于数学的理论之中。 本文用宇宙堆沙子的方式进行描述，不是因为这样可以让读者直观感受葛立恒数，而是为了让读者充分理解为什么无法直观感受葛立恒数。 最后，感谢阅读完全文的读者。 这篇文章从作图到行文，我耗时7个多小时，停笔时是凌晨4点11，累死我了。 参考^https://zhuanlan.zhihu.com/p/20057020 |
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以甲乙两人对话形式，理解葛立恒数。每一阶段后面的注释是表示这一阶段问题所达到的计数层数，看不懂也没关系。 第一阶段: 试图以3^{3^{3^{...3}}}或3\uparrow 3 \uparrow 3 ... \uparrow 3的形式解释葛立恒数。 甲：你能不能告诉我葛立恒数有多大？ 乙：可以，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲：那指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，层数仍然是一个指数塔。 甲：那这个指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，层数仍然是一个指数塔。 甲：那这个指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，层数仍然是一个指数塔。 ......（以上对话重复了很久） 第二阶段: 试图以3\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 ... 3\uparrow\uparrow 3的形式解释葛立恒数。 甲: 算了，你就告诉我，我需要问你多少次“指数塔有多少层”，你才能回答我一个确切数字？ 乙：我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: 那这个指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: 那这个指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲：指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，层数仍然是一个指数塔。 ......（以上对话重复了很久） 第三阶段: 试图以3\uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 ... 3\uparrow\uparrow\uparrow 3的形式解释葛立恒数。 甲: 算了，你就告诉我，我需要在第二阶段里，问你多少次“指数塔有多少层”，你才能回答我一个确切数字？ 乙：我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: 那这个指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: 那这个指数塔有多少层？ 乙：我说不出来，层数仍然是一个指数塔。 ......（以上对话重复了很久） 第四阶段：试图以3\uparrow\uparrow\uparrow... \uparrow\uparrow\uparrow3的形式解释葛立恒数。 甲：我真的累了...你告诉我，我们需要重复多少轮以上阶段的对话，你才能回答我一个确切数字？ 乙：这个...我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: 那么这个指数塔有多少层？不会还是一个指数塔？ 乙：是的... 它仍然是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: ... （无语中) 第五阶段：试图以\underbrace{3\uparrow\uparrow\uparrow... \uparrow\uparrow\uparrow3}_{3\uparrow\uparrow...\uparrow\uparrow3}的形式解释葛立恒数。 甲：我现在学会了，你就直接告诉我，我需要重复几次第四阶段里的问题吧？ 乙：这个...我说不出来，它是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: 那么这个指数塔有多少层？不会还是一个指数塔？ 乙：是的... 它仍然是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。 甲: ... （继续无语中) 第六阶段：试图以 |
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的形式解释葛立恒数。 甲：我进阶了！你就直接告诉我，我需要重复几次整个第四阶段的过程吧？ 乙：这是好问题，我第一次能告诉你一个确切答案了，64次！ 甲: 那么，假设我已经重复了64次第四阶段，在这最后一个阶段中，这指数塔的层数是多少？ 乙：不行，我说不出来... 它仍然是一个3^{3^{3^{...3}}}形式的指数塔。不过，胜利在望了。 第七阶段：解释3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 甲：那这最后一层的指数塔到底是多少？ 乙：我说不出来，不过它可以用3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3表示。 甲：它怎么计算？ 乙：它是一个递归算式。当前中间有四个箭头，那么下一层递归就是若干三个箭头的组合，而最右边的3表示重复三箭头组合3-1=2次。那么就是： 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 甲：那它又等于几？ 乙：继续递归，三个箭头的下一层递归是两层箭头，最右边的3表示要重复两层箭头3-1=2次，并且只能从最右开始计算，那么它就是： 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3) 那么继续算一层的话，就是： 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3) =3\uparrow\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow(3\uparrow3\uparrow3)) 最后，我们可以聊聊3\uparrow3\uparrow3多大了，它比较好算： 3\uparrow3\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}\approx 7.6\times 10^{12} 现在你应该知道葛立恒数多大了吧？ 甲：我表示我脑死亡！ |
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葛立恒数以及更大的TREE(3)、SSCG(3)等大数都和一些数学问题有关，有的数学问题看起来很简单，但它的解却大得令人震惊，甚至大得惊天地泣鬼神。 要想感受这些大数的大小，必须找到一把合适的“尺子”来丈量，像“光年”、“宇宙”、“黑洞”什么的都不适合当尺子，因为量程实在太小了。 要描述葛立恒数，超运算是一种比较直观的方法，规则很简单，首先定义运算符[1]、[2]、[3]、[4]、[5]...... [1]就是加号+，a[1]b=a+b [2]是乘号×，a×b=a+a+......+a，一共b个a相加。 [3]是乘方号^，a^b=a×a×......×a，一共b个a相乘。 [4]是第四级运算(迭代幂次)，a[4]b=a^a^......^a，一共b个a叠成的乘方塔。 [5]是第五级运算，a[5]b=a[4]a[4]......[4]a 要注意一点，除了加号和乘号，其他的运算符都没有交换律，都必须从右往左计算，例如(10^10)^10=10^100，而10^(10^10)=10^10000000000，显然从右往左计算结果要大得多。 可观测宇宙的量级只有1层指数，用宇宙的直径除以最小的普朗克长度，结果是10^62，把宇宙切成边长为普朗克长度的小块，总数约10^186个，其他像宇宙粒子总数、黑洞什么的都远小于这个数字。 如果用N代表全宇宙的原子数(10^80)，计算N^N^......^N，一共N个N叠成的乘方塔，结果可以写成N[4]N，大小在3[5]3和4[5]3之间，可以看出，高等级的运算符对低等级的运算符是降维式打击。 下面开始说葛立恒数，葛立恒数和一个函数G(x)有关，G(x)是用高德纳箭头定义的，和超运算的概念很相似。 G(1)等于两个3中间有4个箭头(3^^^^3)，也等于3[6]3，也就是两个3进行第六级运算。 G(2)等于两个3中间有G(1)个箭头，约等于3[3[6]3]3，中间嵌套了一层运算符。 G(3)等于两个3中间有G(2)个箭头，约等于3[3[3[6]3]3]3，中间嵌套了两层运算符。 依次类推，G(64)就是葛立恒数，约等于3[3[......3[6]3......]3]3，中间嵌套了63层运算符。 TREE(3)这样的大数无法用超运算表示，但我们可以通过TREE(x)函数的增长率来感受它的巨大。 增长率的概念和超运算中的运算等级有点相似，可以描述自变量趋于无穷大时函数的增长快慢，例如f(x)=x+10000和g(x)=x^2这两个函数，当x取大于100的整数时，g(x)大于f(x)，所以我们说g(x)的增长率大于f(x) 我们首先定义：函数f(x)=x+1的增长率是1，如果一个函数的增长率是n，那么它自身迭代x次后的增长率就是n+1 很容易得出，所有的加法函数的增长率都近似为1，乘法函数的增长率都近似为2，指数函数（例如f(x)=2^x）的增长率近似为3 更高等级运算可以使用超运算或高德纳箭头的概念，双箭头函数（例如f(x)=2^^x或f(x)=2[4]x）的增长率近似为4，三箭头函数的增长率近似为5，四箭头函数的增长率近似为6...... 下面来看这样一个函数：f(x)=2[x]x，当自变量x趋于无穷大时，函数的运算等级和增长率也趋于无穷大，我们把它的增长率定义为ω，而ω可以代表一个序列{1、2、3、4、5......}，当自变量取值为n时，函数的增长率相当于序列中的第n项。 程序员经常用到的阿克曼函数，可以近似的写成A(x)=2[x+1]x，它的增长率也近似于ω，代表序列{2、3、4、5、6......}，高德纳箭头的增长率极限也近似于ω 接下来，阿克曼函数自身迭代x次后的增长率是ω+1，葛立恒数中的函数G(x)的增长率也是ω+1 这里说一下另一个大数n(4)，它的值大约是阿克曼函数A(x)迭代A(187196)次后自变量为1的值，用G(x)表示大约在G(G(1))和G(G(2))之间，国内有不少人把n(4)和TREE(3)混淆了，其实这两个大数完全不是一个量级的。 接下来，函数G(x)迭代x次后的增长率是ω+2，新函数继续迭代下去还可以得到ω+3、ω+4的增长率，我们还可以用增长率ω+ω代表这样一个序列{ω+1、ω+2、ω+3、ω+4......}，并且ω+ω可以写成ω×2，同样的方式还可以得到ω×ω、ω^ω的增长率。 为了更方便的理解TREE(3)的大小，我们引入多重增长率的概念，如果把增长率中的ω当作自变量，再计算一次增长率的结果就叫二重增长率。 比如说，函数G(x)的增长率是ω+1，二重增长率是1，康威链的增长率极限是ω×ω，二重增长率近似于2 函数tree(x)的增长率是φ(1@ω)，TREE(x)的增长率是φ(ω@ω)，这里使用了概念比较复杂的φ函数，我们可以算出，tree(x)和TREE(x)的二重增长率都是ω^ω，三重增长率是3 因为G(x)具有二重增长率，TREE(x)具有三重增长率，所以还可以进一步定义：G(x)函数是二阶增长函数，TREE(x)是三阶增长函数。 函数SCG(x)和SSCG(x)的增长率都是ψ(Ω_ω)，这里使用了概念更复杂的ψ函数，可以算出，SCG(x)和SSCG(x)都是ω阶增长函数。 要描述SCG(3)和SSCG(3)，至少需要五阶增长函数，要描述SCG(4)和SSCG(4)，则需要六阶增长函数，要描述SCG(5)和SSCG(5)，需要七阶增长函数...... 还有很多增长率更高的函数，比如Ralph Loader创造的D(x)函数，增长率远远超过了ψ函数能表达的范围，但仍然属于可定义且可计算的函数。 再往上就是可定义、但不可计算的函数，例如关于图灵机停机问题的忙海狸函数（busy beaver），再往上还有不可定义的函数，比如Agustin Rayo创造的Rayo函数。 截至目前增长率最强的函数是“巨大数庭园”，是一个日本人在2019年底创造的，增长率超过了Rayo函数。 前面说过，这些大数都和一些数学问题有关，例如葛立恒数就和拉姆塞理论的一个问题有关： “连接n维超正方体的任意两个顶点，得到一个具有2^n个顶点的完全图，把图的每条边染成红色或蓝色。求n的最小值，使得无论用什么方法染色，都可以找到一个具有单一颜色的共面四阶完全图。” 数学家葛立恒证明了n的上限值是G(64)，所以后人就把G(64)称为葛立恒数，1980年吉尼斯世界纪录把葛立恒数认定为“出现在严格数学论文中的最大的数字”，尽管这个纪录几年后就被打破了。 TREE(3)则和图论的一个问题有关： |
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为什么很多人会把TREE(3)和n(4)这两个大数混淆呢？这主要是维基百科的锅。 维基百科上的描述：“与TREE(3)相比n(4)显得极其的小(extremely small)，所以n(4)是TREE(3)的一个极弱的下界(an extremely weak lower bound)”，这其实是一句毫无意义的废话，因为即使是数字0也可以是TREE(3)的一个超级超级弱的下界。 TREE(3)和n(4)都是数学家Harvey Friedman研究出的大数，Friedman曾经用一个比喻描述：“n(4)在TREE(3)面前显得微不足道（completely unnoticeable）” 现实世界中有意义的最大数字是什么呢？可观测宇宙的量级只有1层指数，宇宙量级受到很多因素限制，比如宇宙年龄（约138亿年）、光速（30万公里/秒）、普朗克长度和时间等等。 要想得到更大量级的数字，可以使用排列组合的方式获得指数级的增长，最简单的例子，十进制数字就是一种排列，全宇宙的粒子总数只需要不到100个数字符号就能写下来，而只要n大于1，任何n进制的增长都是指数级的。 现实中只要少量事物的排列就能得到巨大的数字，比如一个60人的班级排座位的排法就超过了全宇宙的原子总数，其他像围棋、魔方什么的排法都是这个原理，如果把全宇宙的粒子在宇宙空间进行排列，其状态数大约是10^10^120个，达到2层指数的量级。 粒子除了在空间上排列外，还可以在时间轴上进行一重排列，庞加莱重现时间的计算需要在空间和时间轴上进行二重排列，全宇宙的庞加莱重现时间大约是10^10^10^120，达到3层指数的量级，这应该是自然科学中有意义的最大数字。 如果把一个很大的数字存储在大脑里，大脑可能会由于信息密度过大而坍缩成一个黑洞，那么这个数字应该至少有多大呢？ 首先，大脑储存数字的方式是二进制，前面说过，只要n大于1，任何n进制的增长都是指数级的。 其次，黑洞自身的量级只有1层指数，所以综合来看，这个数字也就2层指数的量级。 粗略计算，要让大脑坍缩成黑洞，这个数字至少要达到10^10^67，如果要让整个宇宙都坍缩成黑洞，这个数字至少要达到10^10^107 |
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现实物理世界的最大尺度：可观测宇宙 （直径约 930亿光年 ） 现实物理世界的最小尺度：普朗克粒子（直径约 1.14*10^{-34}m ） 我们来计算一下宇宙体积： \frac{4}{3}\pi \left( \frac{930}{2} \times 10 ^ { 8 } \times (3 \times 10 ^ { 8 }) \times 86400 \times 365 \right) ^ { 3 } \approx 3.57 \times 10 ^ { 80 } m^3 单个普朗克粒子体积： \frac{4}{3}\pi(\frac{1.14}{2}\times10^{-34})^3 \approx 7.76 \times 10 ^ { - 103 } m^3 我们将宇宙真空区域全部填成实心的，共计 \frac{3.57 \times 10 ^ { 80 } m^3 }{ 7.76 \times 10 ^ { - 103 } m^3} \approx 4.6 \times 10 ^ { 182 } 个粒子 假设你发明了一个超级牛逼的压缩软件，压缩比率= 4.6 \times 10 ^ { 182 } : 1 , 能把930亿光年实心宇宙压成一个粒子大小。 软件从宇宙大爆炸开始日夜不停的工作：将宇宙压缩成单个普朗克粒子，然后复制 4.6 \times 10 ^ { 182 } 份，填满930亿光年空间，再压缩成一个粒子，每分每秒周而复始，直到1000亿年后宇宙终结，一共能生成 ： \left( 4.6 \times 10 ^ { 182 } \right) ^ { 3153600000000000000 } \approx 10^{10^{21}} 个宇宙 写下来是这样： \underbrace{1000000000000000000000000000.........0}_{1,000,000,000,000,000,000,000个0} ，如果用硬盘来保存这个数字， 大约需要占用 1,000,000 PB 存储空间。 目前人类发明的计数单位，连这个数字的位数（ 10^{21} ）都无法读出来，只能用科学计数法表示，是不是大到无法形容？ 再来看葛立恒数（g64）： 这玩意看起来像是一个头重脚轻的塔， 每下面一层的计算结果 等于上面一层 箭头的个数，一共64层： |
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那么最下面一层g1 ( 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 ) 有多大呢？ 高德纳箭头表示法： m\uparrow\uparrow\uparrow..n ，每去掉一个箭头需要将算式重叠n次， 例如： m\uparrow\uparrow\uparrow3 = m\uparrow\uparrow m\uparrow\uparrow m m\uparrow\uparrow\uparrow 4 = m\uparrow\uparrow m\uparrow\uparrow m\uparrow\uparrow m m\uparrow\uparrow\uparrow 5 = m\uparrow\uparrow m\uparrow\uparrow m\uparrow\uparrow m\uparrow\uparrow m 以此类推。 所以 3\uparrow\uparrow3 可以展开为 3\uparrow3\uparrow3 ，当两个数字之间 只剩1个箭头 的时候就可以用幂塔来进行替换： 3\uparrow3\uparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27} \approx 7.62万亿 ，是不是很容易理解？ OK，下面进入正题： g1（ 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 ）实在太大太大， 我们先来算g1的弟中弟： 3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow 3\uparrow\uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow 3^{3^3} （运算顺序自右向左） = \underbrace{3\uparrow3\uparrow3...\uparrow3}_{7.62万亿个\uparrow3} \uparrow3 = \underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3...}}}}}}}}}}}_{7.62万亿个3} 这样的一个幂塔。 想把它完整写下来？从地上往天上写，每隔1厘米写一个3，写到太阳表面就可以把幂塔写完！（注意了，只是写塔，而不是写运算结果，运算结果可能要吓着你： \underbrace{3^{3^{3}}}_{3个3} 才区区7.62万亿，还抵不过一次经济刺激计划呢， \underbrace{3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3}}}}_{4个3} \approx10^{3638334640024} 仅仅只多叠1层，就把宇宙 (10^{182}) 给撑爆无数遍了！） 虽然指数塔增长很可怕，不过在高德纳箭头面前就是渣渣，咱先接着往下看。 回顾下我们前面的脑洞（1000亿年反复压缩填充生成的普朗克宇宙个数） ： \underbrace{100000000000.........0}_{10^{21}个0} 这个如此吓人的数字，其实只比 \underbrace {3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3 }}} } _{4个3} 大一点点， 与 \underbrace {3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3^{3} }}} } _{5个3} \approx \underbrace{100000000000000.........0}_{10^{10000000000000}个0} 相比太小太小了，小到可以忽略不计。 然而 \underbrace {3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3^{3} }}} } _{5个3} 在3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 （ \underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3...}}}}}}}}}}}_{7.62万亿个3} ）面前呢，显然是跟零没区别。 然而 3\uparrow\uparrow\uparrow3 相比 3\uparrow\uparrow\uparrow4 来说 \approx0 。因为前者的计算结果，仅仅只是后者的幂塔的层数！（这下好了，连塔有多高都不敢想象啦 ……） 3\uparrow\uparrow\uparrow4 = \underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3...}}}}}}}}}}}_{(\underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{...}}}}}}_{7.62万亿个3} )个3} 同理 m\uparrow\uparrow\uparrow n 在 m\uparrow\uparrow\uparrow (n+1) 面前总是 \approx0 请注意，这还只是增加 n ，要是敢增加↑，那将出现无法想象的可怕增长： m\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n 足以使得 \underbrace{m\uparrow\uparrow\uparrow nnnnnnnnnnnnnnn...n}_{n写满宇宙} ， \approx0 。 请看：3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow\uparrow \underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3...}}}}}}}}}}}_{7.62万亿个3} 到了这这里几乎没有办法进一步展开了。只能说结论：3箭数 \uparrow\uparrow\uparrow 哪怕用来表示4箭数 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 的 位数的位数的位数...重复到宇宙终结 都是远远不够的！ 最可怕的是：g1层（ 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 ）的计算结果，仅仅只是g2层 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow...\uparrow3 的 箭头的个数！ g2层的计算结果仅仅是g3层的箭头的个数！ ... 直到第64层才是真正的葛立恒数！ 那么，既然葛立恒数大到我们无法想象。它的第一层还不能想象吗？于是，我们不妨再大胆点。参考全球最快的超级计算机（每秒可以运行一百亿亿次加法），我们制造一种 每秒可将上述宇宙压缩软件运行一百亿亿次 的超级计算机，然后给全球 70亿 人手一台同时工作，再给宇宙吃上长生不老药，经过漫长的一万亿年后，我们终于得到了 (4.6×10^{182})^{3153600000000000000×100×10^{16}×70×10^8×10} \approx 10^{10^{50}} 个普朗克宇宙 最后把这些普朗克宇宙解压缩还原成真实大小并把空间合并起来，最终得到一个 10^{10^{50}}m^3 的超级大宇宙（ps: 其实解不解压缩没区别，到了这个尺度，930亿光年和一个粒子 区区几百次方 的大小差距已经小到无法在数字上体现，所以10^{10^{50}} 这个数字并没有变 ）。然后将这个超大宇宙里面每一个普朗克空间写满3，组成 \underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3...}}}}}}}}}}}_{10^{10^{50}}层} 的幂塔 ，最后计算出结果，你会惊奇的发现，它竟然还是远远小于 3\uparrow\uparrow\uparrow4 ， 3\uparrow\uparrow\uparrow4 的幂塔有 \underbrace{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3...}}}}}}}}}}}_{7.62万亿个3} 这个数的 运算结果 这么多的层！ 而它仅仅只有 10^{10^{50}} (10^{10^{50}} (< 3^{3^{3^{3^3}}}) 层。 结论：妄图通过真实世界的物质去直观地构想g1有多大是不可能的，任凭你脑洞大开利用各种数学运算规则反复套娃，也摸不到g1的边边儿。即便我们穷尽了所有超魔幻想象力，终于对4个箭头数有了具体的概念，成功闯过葛立恒数第一关g1来到g2一看，箭头个数直接从个位数（4）飞升到（g1）个，这你受得了吗…… |
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先是不太大的3↑↑3： 也就是3↑3↑3=3↑27=7,625,597,484,987，这个数不算很大。 然后是3↑↑↑3： 这个数等于3↑↑3↑↑3，也就是3↑3↑3……的指数塔，一共7,625,597,484,987层。从3↑↑4=3↑3↑3↑3开始就不可能在这里写下来了，但是仍然可以在电脑中存储（需要T级的存储空间）。 3↑↑5=3↑3↑3↑3↑3则整个宇宙也无法存储。 3↑↑6比庞加莱回归时间更大，也就是说3↑↑6（单位不重要，无论是年还是普朗克时间）的时间之内整个宇宙会反复循环。 基本上各种“不可能事件”（例如一个人由于量子隧穿效应直接穿墙，或者一个人由于热涨落从被火化的状态复活，乃至地球上所有人同时化为灰烬又在一秒后在地球对面重组复活）的概率的倒数都远小于3↑↑6。3↑↑6之后的数已经没有物理上的含义了。 要直观想象这个数（3↑↑↑3），就想象3到27（3↑3）到7,625,597,484,987（3↑3↑3）再到3↑7,625,597,484,987（3↑3↑3↑3）的变化，发生了7,625,597,484,987次。 然后是3↑↑↑↑3，这个数被称为G（1），也就是葛立恒系列数的第一个。 3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3……↑↑3，其中↑↑有3↑↑↑3个。如果要直观想象，就想象从3到3↑↑3（7,625,597,484,987）再到3↑↑3↑↑3（即3↑↑↑3）这样的变化（也就是后者的指数塔层数等于前者），发生了3↑↑↑3次。 由于变得抽象了，后面反而容易想象了： G（2），就是3↑↑……↑↑3，一共G（1）个↑，也就是3到3↑3（27）到3↑↑3（7,625,597,484,987）到3↑↑↑3再到3↑↑↑↑3（即G（1））这样的变化，发生了G（1）次，得到G（2）。 同样的变化，发生G（2）次，就得到G（3）。 最后，4到G（1）到G（2）到G（3）这样的变化，发生64次，就得到G（64）。这就是葛立恒数。 |
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