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[自然科学]你有没有在某个瞬间觉得数学是美的,或者被数学震撼到?

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数学其实不算是我擅长的科目 也许是因为智商不够吧 但是我偶尔在某个瞬间感到数学很美,很宏大,仿佛包含了整个世界 小学初中的时候不过觉得是一种科目 高中…
Cartan对单李代数的分类,A B C D 四族典型群和E F G 三族例外单李群,以及相应的Dynkim diagram,根系图(图片网上搜吧),当然还有这些李群的结构和表示论。非常漂亮的一套理论。我希望有生之年也能做出这样精美的工作。
我在我们系里还见过量子群的根系图,非常对称,等我回到系里再拍张照片传上来。






Vasc Inequality
a,b,c∈R,prove that:(a2+b2+c2)2≥3(a3b+b3c+c3a)" role="presentation">a,b,c∈R,prove that:(a2+b2+c2)2≥3(a3b+b3c+c3a)a,b,c\in\mathbb{R},\text{prove that}:(a^2+b^2+c^2)^2\ge3(a^3b+b^3c+c^3a)
第一下惊艳是这个简短暴力却优美的证明:
Proof : (a2+b2+c2)2−3(a3b+b3c+c3a)=12((a2−2ab+bc−c2+ca)2+(b2−2bc+ca−a2+ab)2+(c2−2ca+ab−b2+bc)2)≥0,Q.E.D" role="presentation">Proof : (a2+b2+c2)2?3(a3b+b3c+c3a)=12((a2?2ab+bc?c2+ca)2+(b2?2bc+ca?a2+ab)2+(c2?2ca+ab?b2+bc)2)≥0,Q.E.D\begin{align} \text{Proof : }&\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-3\left(a^{3} b+b^{3} c+c^{3} a\right)\\ =& \frac{1}{2}\left(\left(a^{2}-2 a b+b c-c^{2}+c a\right)^{2}+\left(b^{2}-2 b c+c a-a^{2}+a b\right)^{2}\\ +\left(c^{2}-2 c a+a b-b^{2}+b c\right)^{2}\right) \geq 0,Q.E.D\end{align}
第二下惊艳是这个不等式的取等条件:
除了常规的 a=b=c" role="presentation">a=b=ca=b=c 外,还有 a:b:c=sin2⁡4π7:sin2⁡2π7:sin2⁡π7" role="presentation">a:b:c=sin2?4π7:sin2?2π7:sin2?π7a : b : c=\sin ^{2} \frac{4\pi}{7} : \sin ^{2} \frac{2 \pi}{7} : \sin ^{2} \frac{\pi}{7} 或其轮换
意料之外的取等条件出奇的优美,也让这个问题很难用其他方法证明
在数学上面确实有很多让人震撼的结果,先说几个数论上面的例子吧: n" role="presentation">nn 表示正整数, p" role="presentation">pp 表示素数。
∑n≤x1n∼ln⁡(x),when x is sufficiently large." role="presentation">∑n≤x1n~ln?(x),when x is sufficiently large.\sum_{n\leq x}\frac{1}{n} \sim \ln(x), \text{when } x \text{ is sufficiently large.}
∑p≤x, p is prime1p∼ln⁡ln⁡(x), where x is sufficiently large." role="presentation">∑p≤x, p is prime1p~ln?ln?(x), where x is sufficiently large.\sum_{p\leq x, \text{ }p \text{ is prime}} \frac{1}{p} \sim \ln\ln(x), \text{ where } x \text{ is sufficiently large.}
简单来说,就是所有正整数的倒数和是发散的,所有素数的倒数和也是发散的。但是孪生素数的倒数和却是收敛的,极限称之为 Brun 常数(1919 年证明)。
∑p, p+2 are primes(1p+1p+2) is convergent." role="presentation">∑p, p+2 are primes(1p+1p+2) is convergent.\sum_{p,\text{ } p+2 \text{ are primes}} \bigg(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\bigg) \text{ is convergent.}
假设 pn" role="presentation">pnp_{n} 表示第 n" role="presentation">nn 个素数。
1940 年, Paul Erdos 证明了,存在 0&lt;c&lt;1," role="presentation">0<c<1,n 使得 pn+1&#x2212;pn&lt;c&#x22C5;ln&#x2061;(pn)" role="presentation">pn+1?pn<c?ln?(pn)c 可以足够小,i.e.
lim&#x2006;infn&#x2192;&#x221E;pn+1&#x2212;pnln&#x2061;(pn)=0." role="presentation">lim?infn→∞pn+1?pnln?(pn)=0.\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})} = 0.
2013 年,张益唐证明了 lim&#x2006;infn&#x2192;&#x221E;(pn+1&#x2212;pn)&lt;7&#x2217;107," role="presentation">lim?infn→∞(pn+1?pn)<7?107,\liminf_{n\rightarrow\infty}(p_{n+1}-p_{n})\liminf_{n\rightarrow\infty}(p_{n+1}-p_{n})<7*10^7, 目前七千万这个数字已经被降低到 246。
后续持续更新。
列一个上周才听老师讲的吧: Ress=1&#x03B6;K(s)=2r1(2&#x03C0;)r2h(K)R(K)w(K)|d(K)|" role="presentation">Ress=1ζK(s)=2r1(2π)r2h(K)R(K)w(K)|d(K)|Res_{s=1}\zeta_{K}(s)=\frac{2^{r_{1}}(2\pi)^{r_{2}}h(K)R(K)}{w(K)\sqrt{|d(K)|}}
zeta函数在1的留数竟然与类数、regulator(不知道这个词在中文里叫啥,各位知乎中文数学家们不要喷我啊)、判别式、单位根个数这些数域的整体的量联系在一起,,,据老师说,好像可以通过估计等式的左边来求出理想类群的类数 h(K)" role="presentation">h(K)h(K) ,,,
上课讲的一个小栗子,取 K=Q(&#x2212;1)" role="presentation">K=Q(?1)K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1}) ,则从上面的等式可以看出大家熟知的Leibniz(莱布尼兹)公式 1&#x2212;13+15&#x2212;17+19&#x2212;&#x22EF;=&#x03C0;4" role="presentation">1?13+15?17+19??=π41-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\pi}{4} 实际上就蕴含了Gauss(高斯)整数环的类数为1,,,
补充几个:
(a,N)=1,A={p&#x7D20;&#x6570;|p&#x2261;amodN)}" role="presentation">素数(a,N)=1,A={p素数|p≡amodN)}(a,N)=1,A=\{p素数|p\equiv a\mod N)\} ,则 A" role="presentation">AA 的Dirichlet密度 &#x03B4;(A)=lims&#x2192;1+&#x2211;p&#x2208;A1ps&#x2211;p1ps=1&#x03C6;(N)" role="presentation">δ(A)=lims→1+∑p∈A1ps∑p1ps=1φ(N)\delta(A)=\lim_{s\rightarrow1^{+}} \frac{\sum_\limits{p\in A}\frac{1}{p^{s}}}{\sum\limits_{p}\frac{1}{p^{s}}}=\frac{1}{\varphi(N)}
F/Q" role="presentation">F/QF/\mathbb{Q} 是Galois扩张, 则&#x03B4;(Split(F/Q))=1[F:Q]" role="presentation">δ(Split(F/Q))=1[F:Q]\delta(\mathrm{Split}(F/\mathbb{Q}))=\frac{1}{[F:\mathbb{Q}]}
两个Galois扩张 F1/Q,F2/Q" role="presentation">F1/Q,F2/QF_{1}/\mathbb{Q},F_{2}/\mathbb{Q} ,若在其中完全分裂的素数几乎相同,则两个扩张相等。
话说从中学到现在我被数学的美震撼过一次又一次,有的是因为精妙的技巧,有的是因为深刻的理论。例如,由于我本科的抽象代数课程是安排在大一第一学期的,我还记得那时被Galois Theory震撼的感觉(不过我真正的理解Galois Theory要到大三了...)。
这里我再举另外一个例子,也是个看起来比较神奇的东西。
假设我们有一个杂乱的毛线团。。


如果我们想知道他“具体的结构”,看起来这个问题有点痛苦。。
换个问题。假设我们考虑大型的社交网络,比如facebook。


我们想知道这个网络的结构,看起来也是一个不可能的问题。
现实生活中,我们可能会面临很多类似这种处理“非常复杂”的网络的问题,例如互联网,社交网络 ( 地球可是有70亿人 ),神经网络系统 ( 我们的大脑有近千亿个神经元 ) ,统计物理。
在纯数学研究中,这样的问题也很常见,例如,研究一个复杂的集合的各种性质 ( 比如一个经典问题,给定一个整数的子集,问里面包含多长的等差数列? ) 。
Szemeredi告诉我们,这些问题通通都不是问题。
Szemeredi Regularity Lemma.
Given 0">&#x03B5;&gt;0" role="presentation">ε>0\varepsilon>0 and a positive integer m" role="presentation">mm, there exists an integer M" role="presentation">MM such that the following holds. If a graph G" role="presentation">GG has at least m" role="presentation">mm vertices, there exists an integer k" role="presentation">kk satisfies m&#x2264;k&#x2264;M" role="presentation">m≤k≤Mm\leq k\leq M , and a partition P" role="presentation">P\mathcal{P} of V(G)" role="presentation">V(G)V(G) with k" role="presentation">kk parts V1,V2,&#x2026;,Vk" role="presentation">V1,V2,…,VkV_1,V_2,\dots,V_k , for every 1&#x2264;i&lt;j&#x2264;k" role="presentation">1≤i<j≤k1\leq i<j\leq k , ||Vi|&#x2212;|Vj||&#x2264;1" role="presentation">||Vi|?|Vj||≤1\big||V_i|-|V_j|\big|\leq 1 . For all but at most &#x03B5;k2" role="presentation">εk2\varepsilon k^2 pairs (Vi,Vj)" role="presentation">(Vi,Vj)(V_i,V_j) , for every subsets A&#x2286;Vi" role="presentation">A?ViA\subseteq V_i and B&#x2286;Vj" role="presentation">B?VjB\subseteq V_j with |A|&#x2265;&#x03B5;|Vi|" role="presentation">|A|≥ε|Vi||A|\geq\varepsilon|V_i| and |B|&#x2265;&#x03B5;|Vj|" role="presentation">|B|≥ε|Vj||B|\geq \varepsilon|V_j| , we have |e(A,B)|A|&#x22C5;|B|&#x2212;e(Vi,Vj)|Vi|&#x22C5;|Vj||&lt;&#x03B5;" role="presentation">|e(A,B)|A|?|B|?e(Vi,Vj)|Vi|?|Vj||<ε\mathsf{e}(A,B) is the number of edges having one end vertex in A and one end vertex in B.
哲学的说,Szemeredi regularity lemma告诉我们,完全混乱是不可能的。对于一个非常混乱复杂的网络,他一定满足非常简单的规律。有多简单呢?对于一个复杂网络,我们可以相当快的 ( O(n^2) )得到它几乎所有的性质。Szemeredi本人也由于这个lemma(以及后续应用这个lemma得到的定理)获得了2012年的Abel奖。
所以从数学角度,最困难的问题其实是研究“稀疏”的网络。看起来复杂的东西其实都长一个样,看起来简单的反而各有各的不同。
至于看起来简单的,“稀疏”的网络,目前比较好的进展是Ben Green和陶哲轩证明的,如果这个稀疏网络长的和所有素数“差不多”,那么它满足和上面的“稠密的”复杂网络差不多的性质。Conlon, Fox, Zhao稍微推广了一下他们的结果。简单说,就是一个稀疏图的two-blow up要满足counting lemma。至于一般的稀疏图,目前还相当open。
看证明前:woc!?
看证明中:woc!!
看证明后:woc~






几个月后:trivial
Radon-Nikodym导数
如果测度 \mu 关于测度 \nu 绝对连续,那么存在一个函数 f 使得任意可测集 X
\mu(X)=\int_{X}fd\nu
且在测度\nu看来,f几乎处处唯一(即若两个函数都满足此条件,则他们几乎处处相等)
这个函数 f 称为\mu 对 \nu 的Radon-Nikodym导数,记作 \frac{d\mu}{d\nu} 。
对于学数学的同学来说,这个定理可能太简单了,没有什么奇怪的,但这个东西在物理上很不一般,因为物理上有很多密度,他们实际上都是Radon-Nikodym导数,这其中也包括概率密度,当然量子力学的波函数也是Radon-Nikodym导数,相当于概率密度开方再乘以相位。
洛书,古称龟书,由于在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象而得名。洛书的结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中.


洛书
虽然古人将洛书说得神乎其神,其实说白了洛书就是一个三阶幻方.


最简单的三阶幻方
若这个幻方从 9 开始,按顺时针每两个数字组成一个数,则可以得到 8 个数,分别为:
~~~~~~92,~27,~76,~61,~18,~83,~34,~49.
若这个幻方从 9 开始,按逆时针每两个数字组成一个数,也可以得到 8 个数,分别为:
~~~~~~94,~43,~38,~81,~16,~67,~72,~29.
这两组数满足
~~~~92+27+76+61+18+83+34+49
=94+43+38+81+16+67+72+29.
其实这并没有什么神奇的,因为这两组数的各位数和十位数都是 1,2,3,4,6,7,8,9 . 但是令人意想不到的是这两组数还满足
~~~~92^2+27^2+76^2+61^2+18^2+83^2+34^2+49^2
=94^2+43^2+38^2+81^2+16^2+67^2+72^2+29^2.
更令人惊讶的是
~~~~92^3+27^3+76^3+61^3+18^3+83^3+34^3+49^3
=94^3+43^3+38^3+81^3+16^3+67^3+72^3+29^3.
所以这是一组非常神奇的数字!但是
~~~~92^4+27^4+76^4+61^4+18^4+83^4+34^4+49^4
\ne94^4+43^4+38^4+81^4+16^4+67^4+72^4+29^4.
那是否还有具有类似性质的数呢?答案是:有!比如下面这两组数
~~~~~~~~~~~~1 ,~ 19 ,~ 20,~ 51 ,~ 57 ,~ 80,~ 82
~~~~~~~~~~~~2,~12,~31,~40,~69,~71,~85.
它们满足
~~~~1 + 19 + 20 + 51 + 57 + 80+ 82
=2 + 12 + 31 + 40 + 69 + 71 + 85,
~~~~1^2 + 19^2 + 20^2 + 51^2 + 57^2 + 80^2+ 82^2
=2^2 + 12^2 + 31^2 + 40^2 + 69^2 + 71^2 + 85^2,
~~~~1^3 + 19^3 + 20^3+ 51^3 + 57^3 + 80^3+ 82^3
=2^3 + 12^3 + 31^3 + 40^3 + 69^3 + 71^3 + 85^3,
~~~~1^4 + 19^4 + 20^4+ 51^4 + 57^4 + 80^4+ 82^4
=2^4 + 12^4 + 31^4 + 40^4 + 69^4 + 71^4 + 85^4,
~~~~1^5 + 19^5 + 20^5+ 51^5 + 57^5 + 80^5+ 82^5
=2^5 + 12^5 + 31^5 + 40^5 + 69^5 + 71^5 + 85^5,
~~~~1^6 + 19^6 + 20^6+ 51^6 + 57^6 + 80^6+ 82^6
=2^6 + 12^6 + 31^6 + 40^6 + 69^6 + 71^6 + 85^6.
第一次看到这么神奇的数时,我简直被震撼到了!数学也太好玩太美了!
其实上述两组数都是所谓的 等幂和问题 的解. 等幂和问题也叫 Prouhet-Tarry-Escott 问题,即对任意的正整数 n ,要找两组不同的整数
~~~~~a_1,~a_2,\cdot\cdot\cdot, ~a_m,~~~~~~b_1,~b_2,\cdot\cdot\cdot, ~b_m.
使得当 1\leq k\leq n 时,有
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{m}{a_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{m}{b_{i}^{k}}.
1935 年,数学家 Wright 猜测:对任意的正整数 n ,都存在两组不同的整数
~~~~a_1,~a_2,\cdot\cdot\cdot, ~a_{n+1},~~~~~~b_1,~b_2,\cdot\cdot\cdot, ~b_{n+1}.
使得当 1\leq k\leq n 时,有
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{n+1}{a_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{n+1}{b_{i}^{k}}.
对于等幂和问题,一般来说 n 越大越困难. 1999 年,Kuosa, Meyrignac 和 陈漱文 借助计算机第一次解决了 n=11 的等幂和问题,他们找到了两组数
1, 12, 25, 66, 91, 130, 174,213, 238, 279, 292, 303,
4, 6, 31, 58, 105, 117, 187,199, 246, 273, 298, 300.
使得当 1\leq k\leq11 时,满足
~~~1^k+12^k+25^k+66^k+91^k+130^k+174^k+213^k+238^k+279^k+292^k+303^k
=4^k+6^k+31^k+58^k+105^k+117^k+187^k+199^k+246^k+273^k+298^k+300^k.
这是目前能解决的 n 最大的等幂和问题,显然这两组数同时加上一个整数,得到的两组数仍然满足上述结论,这样的解称为是 等价的. 对于 n=11 ,等幂和问题等价的解显然有无穷多组,但是否还有不等价的解呢?2007 年英国数学家 Broadhurst 运用 中国剩余定理 找到了第二组不等价的解. 由于这样的解要满足太多的等式,所以我们可能会很自然地想这样的解肯定十分稀少. 但令人意想不到的是,2008 年,Chouhdry 和 Wroblewski 借助 椭圆曲线 证明了 n=11 的等幂和问题有无穷多个不等价的解!这个看似与椭圆曲线毫无关系的问题,最后却是用椭圆曲线解决的,这让人觉得不可思议!下面我们一起看看这一精彩的解答方法.
首先,当 k=2,4,6,8,10 时,若有
~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{6}{A_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{6}{B_{i}^{k}}.
则数组
\{\pm A_1,\pm A_2,\cdot\cdot\cdot, \pm A_6\},~~~\{\pm B_1,\pm B_2,\cdot\cdot\cdot, \pm B_6\}.
满足方程
~~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{12}{a_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{12}{b_{i}^{k}}~~(1\leq k\leq11).
即我们仅需求方程
~~\sum_{i=1}^{6}{A_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{6}{B_{i}^{k}}~~~(k=2,4,6,8,10)
的整数解. 设
A_1 = 2xy + xz + 2yz ? 7z^2, ~~~B_1 = 2xy + 2xz + yz ? 7z^2,
A_2 = 2xy ? xz ? 2yz ? 7z^2, ~~B_2 = 2xy ? 2xz ? yz ? 7z^2,
A_3 = 2xy ? 2xz + yz + 7z^2, ~~B_3 = 2xy ? xz + 2yz + 7z^2,
A_4 = 2xy + 2xz ? yz + 7z^2, ~~B_4 = 2xy + xz ? 2yz + 7z^2,
A_5 = 3xz + 5yz, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B_5 = 5xz + 3yz,
A_6 = 5xz ? 3yz, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B_6 = 3xz ? 5yz.
我们记
~~~~~~~~~~~~~~S_k=\sum_{i=1}^{6}{A_{i}^{k}}-\sum_{i=1}^{6}{B_{i}^{k}}.
经过复杂的计算可得
S_2=S_4=0,
S_6 = 4320xyz^4(x ? y)(x + y)f(x,y,z),
S_8 = 5376xyz^4(x ? y)(x + y)f(x,y,z)(8x^2y^2 + 37x^2z^2 + 37y^2z^2 + 98z^4)
S_{10} = 10080xyz^4(x ? y)(x + y)f(x,y,z)(665y^4z^4 + 248x^2y^4z^2 + 32x^4y^4+
~~~~~~~~~~~3038y^2z^6 + 2384x^2y^2z^4 + 248x^4y^2z^2 + 4802z^8+ 3038x^2z^6 + 665x^4z^4)
其中
f(x,y,z)=8x^2y^2 ? 17x^2z^2 ? 17y^2z^2+ 98z^4.
故问题转化为求方程 f(x,y,z)=0 的整数解. 我们令
~~~~~~~~~~~x=Uz,~~~~~~y=\frac{Vz}{8U^2-17}.
带入方程 f(x,y,z)=0 ,可得
~~~~~~V^2=136U^4-1073U^2+1666.


曲线 V^2=136U^4-1073U^2+1666
由于当 U=\pm1 时,
V^2=136-1073+1666=729=27^2.
从而可知曲线
~~~~~~V^2=136U^4-1073U^2+1666
有有理点
(1,27),~(1,-27),~(-1,27),~(-1,-27).
我们又令
X=\frac{251X+3Y-206690}{89X+3Y-36410},
Y=\frac{243X^3-766260X^2+312978600X-9256500Y+59116365000}{(89X+3Y-36410)^2}.
带入方程
~~~~~~V^2=136U^4-1073U^2+1666,
得椭圆曲线
E:Y^2 = X^3 + X^2 ? 1290080X + 556370100.


椭圆曲线 Y^2 = X^3 + X^2 ? 1290080X + 556370100
可以验证曲线
~~~~~~V^2=136U^4-1073U^2+1666
上的有理点 (1,-27) 对应椭圆曲线 E 上的有理点
~~~~~~~~~~~~~~P=\left( \frac{9460}{9},\frac{514250}{27} \right).
则由 Nagell-Lutz 定理 知 P 为椭圆曲线 E 的无限阶有理点,从而可得 E 上有无穷多个有理点. 椭圆曲线 E 上的每一个有理点,都对应着方程
~~\sum_{i=1}^{6}{A_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{6}{B_{i}^{k}}~~~(k=2,4,6,8,10)
的一组整数解.
如椭圆曲线 E 上的有理点 P 对应着
~~~~~~~~~~~~~~x=1,~~y=3,~~z=1.
从而可得方程
~~\sum_{i=1}^{6}{A_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{6}{B_{i}^{k}}~~~(k=2,4,6,8,10)
的一组整数解
(6,-8,14,12,18,-4),~~(4,-6,18,8,14,-12).
容易看出这是一组平凡解. 为了得到非平凡解,我们取椭圆曲线 E 上的有理点
~~~~~~~~~2P=\left( \frac{163579}{225},-\frac{6090292}{3375} \right).
这个点对应着
~~~~~~~~~U=-\frac{457}{353},~~~V=-\frac{1968867}{124609}.
而这又对应着
x=-101911,~y=346293,~z=78719.
从而可得方程
~~\sum_{i=1}^{6}{A_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{6}{B_{i}^{k}}~~~(k=2,4,6,8,10)
的一组整数解
(1019171,774217,712866,447858,428496,102257),
(1018599,795069,652598,570049,264662,224448).
Chouhdry 和 Wroblewski 用这种方法一共找到了 113 组解,其中较小的 5 组解见下表.


Chouhdry 和 Wroblewski 得到的 5 组较小的解
如由表中的第一组解
(14770,12638,11632,7115,7043,929),
(14693,13165,10112,9718,4054,3455).
可得方程
~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{12}{a_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{12}{b_{i}^{k}}~~~~(1\leq k\leq11).
的一组整数解
(\pm14770,\pm12638,\pm11632,\pm7115,\pm7043,\pm929),
(\pm14693,\pm13165,\pm10112,\pm9718,\pm4054,\pm3455).
若这组解的每个数都加 14771 ,则可得方程
~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{12}{a_{i}^{k}}=\sum_{i=1}^{12}{b_{i}^{k}}~~~~(1\leq k\leq11).
的一组正整数解
(1,2133,3139,7656,7728,13842,15700,21814,21886,26403,27409,29541),
(78,1606,4659,5053,10717,11316,18226,18825,24489,24883,27936,29464).
用计算机验证结果如下:


可知确实为方程的解!
说一个众所周知
对于巴塞尔问题(Basel problem)的Euler首个证明, 事实上他对这个问题是给出过严谨的证明,但是由于第一个证明实在是太优秀了,只是幂级数同有限的多项式相联系。
已知 sin(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x?\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...
从而得 \frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots
但是 \frac{sin(x)}{x} 的根集为 x=n\cdot\pi (n=\pm1,\pm2\cdots)
故而可以假定 \frac{sin(x)}{x} =\left( 1-\frac{x}{\pi} \right)\left( 1+\frac{x}{\pi} \right)\left( 1-\frac{x}{2\pi} \right)\left( 1+\frac{x}{2\pi} \right)\left( 1-\frac{x}{3\pi} \right)\left( 1+\frac{x}{3\pi} \right)...=\left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} \right)\left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right)\cdots
稍有数学背景的人立刻意识到 ,咦这个不是《数学分析》里的无穷乘积嘛
\frac{sin(x)}{x} =\prod_{n=1}^{\infty}cos\frac{x}{2^n} 没错 就是这个它 不过Euler并没有证明这个无穷积,而是百余年后的Weierstrass 的Weierstrass factorization theorem 。
然后Euler对这个无穷乘积的 x^2 项进行研究
-\left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} + 1-\frac{x^2}{4\pi^2} +1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right)\cdots=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}
-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} 整理一下就是 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} 不过这个证明过程是有问题的,至少是不严谨的。 但是Euler 真神了!
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots=\frac{\pi^2}{6}\approx1.644934 \cdots 这是多么震撼的
在我看来,数学的魅力主要来自于优秀的数学家们可以不断的给人们带来惊喜,将原本杂乱无章的世界解释的井井有条。
拿动力系统来说,Sinai和Kolmogorov发现了一个基本的不变量,熵(entropy),使人们对动力系统的本质有了更深的理解。而对于一般群作用下的动力系统,entropy并不能自然的推广。其中最著名的例子是Ornstein和Weiss在1980年代举出的,他们举出的例子说明如果把entropy的定义简单的推广到自由群作用上,就会出现一个动力系统的因子的熵比原动力系统的熵还大的现象。这个疑惑经过了20多年,终于由Lewis Bowen在2008年左右解决。他对于一般的群作用动力系统定义了一种全新的熵,我们现在称为sofic entropy,这是群作用动力系统的一个基本的不变量,用sofic entropy,我们可以区分很多过去区分不了的动力系统,对于群作用的动力系统也有了崭新的研究角度。
我的PhD导师有一次跟我说,世界之所以这么美,不是因为它原本美,是因为我们的眼睛和大脑把它呈现得很美。数学的美也是一样,主要来自于数学家们对数学深刻的理解和天才的创造,将复杂的现象用简单的语言和公式呈现出来。
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