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[自然科学]1992??和2001??哪个更大? |
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男朋友给我出的数学题，不让计算器。当年身为高中课代表的我，大学不学数学，现在看到数学题脑阔晕，可以ball ball各位小伙伴帮忙吗？阿里嘎多！ |
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没想到数学还能有上热搜的时候，之前我一直以为明星打喷嚏比较重要(doge) 199200与200199" role="presentation">与199200与200199{199^{200}与200^{199}} 同取对数后: 200ln⁡199与199ln⁡200" role="presentation">与200ln?199与199ln?200200\ln199与199\ln 200 同除以 199⋅200" role="presentation">199?200199\cdot200 : ln⁡199199与ln⁡200200" role="presentation">与ln?199199与ln?200200\frac{\ln 199}{199}与\frac{\ln 200}{200} 于是构造函数 f(x)＝ln⁡xx" role="presentation">＝f(x)＝ln?xxf(x)＝\frac{\ln x}{x} 利用单调性比大小 f′(x)＝limΔx→0ln⁡(x+Δx)x+Δx−ln⁡xxΔx＝limΔx→0xln⁡(1+Δxx)−Δxln⁡xxΔx(x+Δx)＝limΔx→0Δx−Δxln⁡xxΔx(x+Δx)＝1−ln⁡xx2" role="presentation">＝＝＝＝f′(x)＝limΔx→0ln?(x+Δx)x+Δx?ln?xxΔx＝limΔx→0xln?(1+Δxx)?Δxln?xxΔx(x+Δx)＝limΔx→0Δx?Δxln?xxΔx(x+Δx)＝1?ln?xx2\begin{align} f'(x)＝&\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{\ln (x+\Delta x)} {x+\Delta x}-\frac{\ln x}{x}}{\Delta x}\\＝&\lim_{\Delta x\to0}\frac{x\ln(1+\frac{\Delta x}{x})-\Delta x\ln x}{x\Delta x(x+\Delta x)}\\＝&\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x-\Delta x\ln x}{x\Delta x(x+\Delta x)}\\＝&\frac{1-\ln x}{x^2} \end{align} 199,200∈(e,+∞)减区间" role="presentation">减区间199,200∈(e,+∞)减区间199,200\in(e,+∞)减区间 因此: ln⁡199199＞ln⁡200200199200＞200199" role="presentation">＞＞ln?199199＞ln?200200199200＞200199\begin{align} \frac{\ln 199}{199}＞\frac{\ln 200}{200} \\{199^{200}＞200^{199}} \end{align} |
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高赞怎么都是硬算的，我来个导数证明吧。 |
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先说结论， 200^{199}">199200>200199" role="presentation">199200>200199199^{200}>200^{199} ，而且类似的情况 9999^{9998}">99989999>99999998" role="presentation">99989999>999999989998^{9999}>9999^{9998} 也同样成立 已知 e<a<b" role="presentation">e<a<ba^b>b^a 。 证明： b^a">ab>ba" role="presentation">ab>baa^b>b^a 等价于 e^{a*lnb}">eb∗lna>ea∗lnb" role="presentation">eb?lna>ea?lnbe^{b*lna}>e^{a*lnb}，即 a*lnb">b∗lna>a∗lnb" role="presentation">b?lna>a?lnbb*lna > a*lnb 只需证明 a*lnb">b∗lna>a∗lnb" role="presentation">b?lna>a?lnbb*lna > a*lnb 即说明 b^a">ab>ba" role="presentation">ab>baa^b>b^a 。 令 f(x)=xlna−alnx" role="presentation">f(x)=xlna?alnxf(x)=xlna-alnx ,得 f(a)=0" role="presentation">f(a)=0f(a)=0 f′(x)=lna−ax" role="presentation">f′(x)=lna?axf'(x)=lna-\frac{a}{x} ，当 a<x<b" role="presentation">a<x<bf'(x)>0 ， 故 f(x)" role="presentation">f(x)f(x) 在 [a,b]" role="presentation">[a,b][a,b] 上单调递增 由题得 a">b>a" role="presentation">b>ab>a ，故 f(a)=0">f(b)>f(a)=0" role="presentation">f(b)>f(a)=0f(b)>f(a)=0 ，即 0">f(b)>0" role="presentation">f(b)>0f(b)>0 所以 0">blna−alnb>0" role="presentation">blna?alnb>0blna-alnb>0 ，也就是 b^a">ab>ba" role="presentation">ab>baa^b>b^a 将a=199,b=200代入，可知 200^{199}">199200>200199" role="presentation">199200>200199199^{200}>200^{199} ，所以不管a,b取多少，只要满足大于e，就算是 500^{400}">400500>500400" role="presentation">400500>500400400^{500}>500^{400} 或者 9999^{9998}">99989999>99999998" role="presentation">99989999>999999989998^{9999}>9999^{9998} 也同样成立。 |
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先说是什么 199²⁰⁰＞200¹⁹⁹" role="presentation">2??＞1??1992??＞2001??1992??＞2001?? 再问为什么 我就写初中同学也看得懂的解法吧 200¹⁹⁹199²⁰⁰" role="presentation">1??2??2001??1992??\frac{2001??}{1992??} 两数相除 如果＞1则2001??大，＜1则1992??大，＝1则一样大 ∵ 200¹⁹⁹199²⁰⁰＝200¹⁹⁹199¹⁹⁹×199＝(200199)¹⁹⁹×1199" role="presentation">1??2??＝1??1??＝1??2001??1992??＝2001??1991??×199＝(200199)1??×1199\frac{2001??}{1992??}＝\frac{2001??}{1991??×199}＝\left( \frac{200}{199}\right)1??×\frac{1}{199} ＝(1+1199)¹⁹⁹×1199" role="presentation">＝1??＝(1+1199)1??×1199＝\left( 1+\frac{1}{199} \right)1??×\frac{1}{199} ＜(1+12)(1+13)(1+14)....×(1+1199)×(1+1199)×1199" role="presentation">＜＜(1+12)(1+13)(1+14)....×(1+1199)×(1+1199)×1199＜\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{4} \right)....×\left( 1+\frac{1}{199} \right)×\left( 1+\frac{1}{199} \right)× \frac{1}{199} 合并 ＝32×43×54....×200199×200199×1199" role="presentation">＝＝32×43×54....×200199×200199×1199＝\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}....×\frac{200}{199}×\frac{200}{199}×\frac{1}{199} 约分 ＝2002×200199×1199" role="presentation">＝＝2002×200199×1199＝\frac{200}{2}×\frac{200}{199}×\frac{1}{199} ＝20000199²" role="presentation">＝2＝200001992＝\frac{20000}{1992} 又∵ 20000199²＜1" role="presentation">2＜200001992＜1\frac{20000}{1992}＜1 ∴ 199²⁰⁰＞200¹⁹⁹" role="presentation">2??＞1??1992??＞2001??1992??＞2001?? 其实呢 这种题一般只会出现在填空题 我们只要记住一条公式就行：在 n≥e的条件下，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ" role="presentation">的条件下，??1＞（）?n≥e的条件下，n??1＞（n+1）?n≥e的条件下，n??1＞（n+1）? 释:e为自然对底数，是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459… 祝大家牛年快乐 |
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鉴于评论中有大量的回答是：取对数，构造函数。有必要先声明 取对数构造函数再求导的方法是最基本也是最容易想到的方法，就好比用方程解应用题一样。已经有很多答案详实地、不知疲倦地展示了这种方法，我就不再浪费时间于此了。我用均值不等式来做完全是因为看到答案里面没人用，而均值不等式又属于非常基础的但有一定技巧的方法，而且觉得用均值不等式最省墨，并不是说这种方法要比构造函数的方法好，更不是说我不会用其他方法。。。（8.2补） ------------------------------------------------------------------------------------------- 看了琳琅满目的回答，有用高等数学方法的，有用初中比商法放缩的，有用不完全归纳当填空题做的，还有各种抖机灵反智用数值计算侮辱数学的，真可谓百般红紫斗芳菲，叫人应接不暇！可翻看了这么多，居然没有用均值不等式的！怎么可以没有均值不等式？！于是我琢磨了一下 200199200=200198⋅100⋅2200<198×200+100+2200<199×200200=199" role="presentation">200199200=200198?100?2200<198×200+100+2200<199×200200=199\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+......+a_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}......a_{n}} ，算术平均值大于等于几何平均值， a1=a2=a3=......=an" role="presentation">a1=a2=a3=......=ana_{1}=a_{2}=a_{3}=......=a_{n} 时等号成立 ====================【7.24更】===================== 感觉得加点东西才对得起大家的赞和回复，那我推广到一般情况吧 比较(n+1)n" role="presentation">(n+1)n(n+1)^{n} 和 nn+1" role="presentation">nn+1n^{n+1} 的大小，其中 n∈N" role="presentation">n∈Nn\in N (n+1)nn+1=(n+1)n−1n+1n+1n+1<(n−1)(n+1)+2n+1n+1=n−1+2n+1" role="presentation">(n+1)nn+1=(n+1)n?1n+1n+1n+1<(n?1)(n+1)+2n+1n+1=n?1+2n+1n-1+\frac{2}{\sqrt{n+1}}\leq n ，就能得到 (n+1)nn+1<n⇒(n+1)n<nn+1" role="presentation">(n+1)nn+1<n?(n+1)n<nn+1n-1+\frac{2}{\sqrt{n+1}}\leq n 得到 n≥3" role="presentation">n≥3n\geq3 从而证明了当 n≥3" role="presentation">n≥3n\geq3 时， (n+1)n<nn+1" role="presentation">(n+1)n<nn+1n=0,1,2 的情况，带入进去计算就能得到 n^{n+1}">(n+1)n>nn+1" role="presentation">(n+1)n>nn+1(n+1)^{n}>n^{n+1} ------------------------------------------------------------------------------- 感觉这就是初等的方法里能走得最远的结果。 其实构造 f(x)=lnxx" role="presentation">f(x)=lnxxf(x)=\frac{lnx}{x} 才是可推广的标准化方法，能得到最强的结果，而且会对这个问题有更深入的理解。均值不等式技巧性强，属于抖机灵的解法。 ============下面再附赠一个初中水平的奇技淫巧的方法吧============== 要比较 200199" role="presentation">200199200^{199}和199200" role="presentation">199200199^{200} ，就是要比较 200199199×200" role="presentation">200199199×200200^{\frac{199}{199\times200}} 和 199200199×200" role="presentation">199200199×200199^{\frac{200}{199\times200}} ，那就是比较 200200" role="presentation">200200\sqrt[200]{200} 和 199199" role="presentation">199199\sqrt[199]{199} 200=199×200199" role="presentation">200=199×200199200=199\times\frac{200}{199} =(199199)199×200199=(200200)199×200200⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)" role="presentation">=(199199)199×200199=(200200)199×200200??????(1)\qquad =\left( \sqrt[199]{199}\right)^{199} \times\frac{200}{199}=\left( \sqrt[200]{200} \right)^{199} \times \sqrt[200]{200} \qquad \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\quad(1) 如果能比较 200200" role="presentation">200200\sqrt[200]{200} 和 200199" role="presentation">200199\frac{200}{199} 的大小，就能比较 200200" role="presentation">200200\sqrt[200]{200} 和 199199" role="presentation">199199\sqrt[199]{199} 的大小 \left( \frac{200}{199}\right)^{200}">200=21×32×43……×200199⏟共199项=2×2×32×43……×200199⏟共200项>(200199)200" role="presentation">共项共项200=21×32×43……×200199?共199项=2×2×32×43……×200199?共200项>(200199)200200 =\underbrace{\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}……\times\frac{200}{199}}_{共199项}=\underbrace{\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}……\times\frac{200}{199}}_{共200项}>\left( \frac{200}{199}\right)^{200} 所以 \frac{200}{199}">200200>200199" role="presentation">200200>200199\sqrt[200]{200}>\frac{200}{199}，由 (1)" role="presentation">(1)(1) 式 立马得到 200200<199199" role="presentation">200200<199199\sqrt[n+1]{n+1} 和 nn" role="presentation">nn\sqrt[n]{n} 要让 \left( \frac{n+1}{n}\right)^{n+1}">2×2×32×43……×n+1n⏟共n+1项>(n+1n)n+1" role="presentation">共项2×2×32×43……×n+1n?共n+1项>(n+1n)n+1\underbrace{\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}……\times\frac{n+1}{n}}_{共n+1项}>\left( \frac{n+1}{n}\right)^{n+1} 成立，必须 \frac{n+1}{n}">2>n+1n" role="presentation">2>n+1n\sqrt{2}>\frac{n+1}{n} 所以 \sqrt{2}+1">n>2+1" role="presentation">n>2+1n>\sqrt{2}+1 ，也就是 n≥3" role="presentation">n≥3n\geq 3 水平越来越低了，就一初中竞赛水平，当然是不能和高等数学的方法比的。。。。 容我再想想有没有小学的方法 |
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记住下面这条定律，以后碰到任何此类问题，别说199，即便问1亿，皆可1秒钟作答： 在正整数范围内（除1和2外），任何底-指数互换的数值比较，都始终遵循“指数大则值大”的规律！ 看了很多专业的回答，令人钦佩！ 本人高数已忘了，现在也不是数学的专业人士，因此只能以一种粗放直观的方式，抛砖引玉。 关于1992??和2001??谁大，其实不就是看两者相除是否大于1嘛。 首先，从1，2开始，简单罗列数据，不就一目了然了吗？底指只差1的数字，互换比较，除了1和2不够争气以外，其余任何正整数，一律统统都是指数大，数值越大。而且是随着数据的增大，差距也越来越大。这基本就可以确定本题的答案。 |
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如果将上述倍数计算方法转换成公式，那么可以通过被除数和除数同时除以(x^x，x对应的是题中的199), 得到比值公式： |
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此公式，只要x大于2，y永远大于1。 利用这公式来算，那就非常简单了，别说199，就是199999999999^200000000000和200000000000^199999999999谁大，都能轻松用你的计算器算出来。 当x=1时，y为0.5； 当x=2时，y为0.889； 当x=5时，y为2.0094； 当x=199时，y为73.3916（就是说，1992??比2001??大73.3916倍）； 当x=19999999999时，y为7357588214.8432； 当x=19999999999999999999时，y为2e+19； .......... 总之，除了1和2外，其余任何正整数底幂互转比较，一律统统都是指数大，数值越大，而且随着x变大，差距也越来越大。 日后碰到此类问题，就不用过多想了，指数大值大。 |
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考虑函数 f(x)=\frac{\ln x}{x}, 求导易知 f(x) 在 (0,e) 上递增, 在 (e,+\infty) 上递减, 所以 f(200)=\frac{\ln200}{200}.">\frac{\ln199}{199}=f(199)>f(200)=\frac{\ln200}{200}. 于是 199\ln200,">200\ln199>199\ln200, 所以 200^{199}.">199^{200}>200^{199}. |
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不难发现 199^200=5896784843701866315830202306247774762972638982405042480372238189012365044783448228280875028875684277127088378956152713197320945688565673304729984010537727226637040943165593052367979000124463424161858464934947067680269075228341562695042312463815883441507512003942871781958205145461989665812045325106145074842960481661294209203262577314061569045152694421556602495323466256365196176516277494056642637786305854049111948156579863012416891273717889898672613595960001 而200^199=80346902212949513777098104617058130126110149689139641765068800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 通过观察位数可得199^200>200^199 多说不如多做，一些简单的乘法题可以动笔算一算，自然就能找到答案 评论区有人说笔算这个有点困难，但实际上，我们都是用FFT心算的 我都惊了，这条回答一夜之间加了800赞，还有这么多人评论 2022 10.7 upd：1w赞啦！！111 |
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这是吉米多维奇的0010.1.б题。这道题在俄文原版书上有，但是国内很多翻译版本删去了这道题。 |
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在 n\geq3 的条件下，有 (n+1)^n">n^{n+1}>(n+1)^n --------- 证明方法一： 如果不局限于数学归纳法，可以这样证明： 根据自然常数的极限 n+2+1/n>n+2 1+1/(n+1)">1+1/n>1+1/(n+1) 不等式相乘，所以 (n+2)(1+1/(n+1))^n">(n+2+1/n)(1+1/n)^n>(n+2)(1+1/(n+1))^n 上面化简为 (n+2)^{n+1}/(n+1)^n">(n+1)^{n+2}/n^{n+1}>(n+2)^{n+1}/(n+1)^n 如果n成立，则 (n+1)^n">n^{n+1}>(n+1)^n 不等式相乘，所以 (n+2)^{n+1}">(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1} 上面的推导说明了：如果n成立那么n+1成立。由数学归纳法，证明了不等式成立。 |
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大家给的方法都太难了，我一个八岁的小朋友完全看不懂呜呜 数学，还是需要回归原点，感受最淳朴的方法 200^{199} = 80346902212949513777098104617058130126110149689139641765068800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 199^{200} = 5896784843701866315830202306247774762972638982405042480372238189012365044783448228280875028875684277127088378956152713197320945688565673304729984010537727226637040943165593052367979000124463424161858464934947067680269075228341562695042312463815883441507512003942871781958205145461989665812045325106145074842960481661294209203262577314061569045152694421556602495323466256365196176516277494056642637786305854049111948156579863012416891273717889898672613595960001 由上易知 200^{199}-199^{200}= -5816437941488916802053104201630716632846528832715902838607169389012365044783448228280875028875684277127088378956152713197320945688565673304729984010537727226637040943165593052367979000124463424161858464934947067680269075228341562695042312463815883441507512003942871781958205145461989665812045325106145074842960481661294209203262577314061569045152694421556602495323466256365196176516277494056642637786305854049111948156579863012416891273717889898672613595960001 不难发现数 -5816437941488916802053104201630716632846528832715902838607169389012365044783448228280875028875684277127088378956152713197320945688565673304729984010537727226637040943165593052367979000124463424161858464934947067680269075228341562695042312463815883441507512003942871781958205145461989665812045325106145074842960481661294209203262577314061569045152694421556602495323466256365196176516277494056642637786305854049111948156579863012416891273717889898672613595960001 小于零 所以 200^{199}200^{199}<199^{200} [1] 参考^本回答感谢Visual Studio Code和Python的支持，Python可以进行高位精确的大数运算 |
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