[自然科学] 数学史上你认为最丑陋的公式是什么？

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[自然科学]数学史上你认为最丑陋的公式是什么？

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姊妹篇：数学史上你认为最美的公式是什么？

波尔文积分（Borwein integral）
此特殊积分由波尔文父子（David Borwein & Jonathan Borwein）于 2001 年首次提出，用于举例说明【看似成立的数学规律会在某个时刻突然失效】。
这是一个涉及 sinc 函数的积分，常见的例子为：
∫0∞sin⁡(x)xdx=π2" role="presentation">∫0∞sin?(x)xdx=π2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}
∫0∞sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3dx=π2" role="presentation">∫0∞sin?(x)xsin?(x/3)x/3dx=π2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}
∫0∞sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3sin⁡(x/5)x/5dx=π2" role="presentation">∫0∞sin?(x)xsin?(x/3)x/3sin?(x/5)x/5dx=π2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}
∫0∞sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3sin⁡(x/5)x/5sin⁡(x/7)x/7dx=π2" role="presentation">∫0∞sin?(x)xsin?(x/3)x/3sin?(x/5)x/5sin?(x/7)x/7dx=π2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5}\frac{\sin(x/7)}{x/7}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}
此规律一直到：
∫0∞sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3...sin⁡(x/13)x/13dx=π2" role="presentation">∫0∞sin?(x)xsin?(x/3)x/3...sin?(x/13)x/13dx=π2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}...\frac{\sin(x/13)}{x/13}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}
依然成立。
好了，算到这里你是不是会想：哦，多棒的规律啊！然后得意洋洋地开始测试下一个数。
然而，打脸来得就是这么猝不及防：
∫0∞sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3...sin⁡(x/15)x/15dx=467807924713440738696537864469935615849440640907310521750000π" role="presentation">∫0∞sin?(x)xsin?(x/3)x/3...sin?(x/15)x/15dx=467807924713440738696537864469935615849440640907310521750000π\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}...\frac{\sin(x/15)}{x/15}\mathrm{d}x=\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi
=π2−6879714958723010531935615849440640907310521750000π" role="presentation">=π2?6879714958723010531935615849440640907310521750000π=\frac{\pi}{2}-\frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi
烂，烂尾了……
令人头大。
凭着直觉，你可能以为规律是这样的：
∫0∞∏k=0nsin⁡(akx)akxdx=π2,ak=12k+1" role="presentation">∫0∞∏k=0nsin?(akx)akxdx=π2,ak=12k+1\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}, a_{k}=\frac{1}{2k+1}
简洁而美丽。
实际上它的通式却是这样的：
∫0∞∏k=0nsin⁡(akx)akxdx=π2a0·12nn!∏k=1nak∑γ∈{±1}nεγbγnsgn⁡(bγ),ak=12k+1，" role="presentation">，∫0∞∏k=0nsin?(akx)akxdx=π2a0·12nn!∏k=1nak∑γ∈{±1}nεγbγnsgn?(bγ),ak=12k+1，\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2a_{0}}·{\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma }), a_{k}=\frac{1}{2k+1}，
γ=(γ1,γ2,…,γn)∈{±1}n,bγ=a0+γ1a1+γ2a2+⋯+γnan,εγ=γ1γ2⋯γn" role="presentation">γ=(γ1,γ2,…,γn)∈{±1}n,bγ=a0+γ1a1+γ2a2+?+γnan,εγ=γ1γ2?γn\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n},b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n},\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}
从仅有 ak" role="presentation">aka_{k} 一个参数，硬生生地加到 ak,γ,bγ,εγ" role="presentation">ak,γ,bγ,εγa_{k},\gamma,b_{\gamma },\varepsilon _{\gamma } 四个参数，运算有幂、阶乘、累乘、累和，甚至还包含符号函数 sgn，实在是……
复杂又丑陋。
哦对了，如果你增加附加因子 2cos⁡(x)" role="presentation">2cos?(x)2\cos(x) ，那么这个序列一直坚持到 k=55" role="presentation">k=55k=55 ，即：
∫0∞2cos⁡(x)sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3...sin⁡(x/111)x/111dx=π2" role="presentation">∫0∞2cos?(x)sin?(x)xsin?(x/3)x/3...sin?(x/111)x/111dx=π2\int_{0}^{\infty}2\cos(x)\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}...\frac{\sin(x/111)}{x/111}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}
都完全没毛病。
就在你以为大功告成，可以擦一擦额头上的汗时，下一秒……
∫0∞2cos⁡(x)sin⁡(x)xsin⁡(x/3)x/3...sin⁡(x/113)x/113dx<π2" role="presentation">∫0∞2cos?(x)sin?(x)xsin?(x/3)x/3...sin?(x/113)x/113dx<π2\int_{0}^{\infty}2\cos(x)\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}...\frac{\sin(x/113)}{x/113}\mathrm{d}x\int_{0}^{\infty}2\cos(x)\frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}...\frac{\sin(x/113)}{x/113}\mathrm{d}x<\frac{\pi}{2}
波尔文积分这个数学例子在某种程度上其实证明了一个老生常谈却又时常被人们用侥幸心理无视掉的道理：
直觉和经验，其实并不总是那么可靠。

一元四次方程的求根公式,参考
一元四次方程_百度百科?baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B#:~:text=%E4%B8%80%E5%85%83%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%287%E5%BC%A0%29.,%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%85%83%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E9%80%9A%E8%BF%87.%20%E7%9A%84%E4%BB%A3%E6%8D%A2%E6%B6%88%E6%8E%89%E4%B8%89%E6%AC%A1%E9%A1%B9%EF%BC%8C%E5%BE%97%E5%88%B0%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%AB%E4%B8%89%E6%AC%A1%E9%A1%B9%E7%9A%84%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8C%E7%84%B6%E5%90%8E%E7%94%A8%E9%85%8D%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%B1%82%E8%A7%A3%EF%BC%88%E8%BF%99%E9%87%8C%E7%9A%84%E9%85%8D%E6%96%B9%E6%8C%87%E7%9A%84%E6%98%AF%E9%85%8D%E5%B9%B3%E6%96%B9%EF%BC%89%E3%80%82

百度百科上的公式是用 Δ1,Δ2,Δ" role="presentation">Δ1,Δ2,Δ\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta 一层一层套的,然后我花了一个小时把无 Δ" role="presentation">Δ\Delta 版的求根公式打了出来,真的很恶心.后面的公式都是我用LaTeX打出来的，所以别指望双击把它放大，在此我也要对我以前不经意间的骗赞行为道歉。
若 ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a,b,c,d,e∈R,a≠0" role="presentation">ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a,b,c,d,e∈R,a≠0ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a,b,c,d,e\in\mathbb{R},a\neq0,则:x1=−b4a−12b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)−12b24a2−4c3a−(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)−−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)" role="presentation">x1=?b4a?12b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)?12b24a2?4c3a?(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)??b3a3+4bca2?8da4b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)x_{1}=\frac{-b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})} -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4c}{3a}-(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a}) -\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4bc}{a^{2}}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})}}}
x2=−b4a−12b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)+12b24a2−4c3a−(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)−−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)" role="presentation">x2=?b4a?12b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)+12b24a2?4c3a?(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)??b3a3+4bca2?8da4b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)x_{2}=\frac{-b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4c}{3a}-(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a}) -\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4bc}{a^{2}}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})}}}
x3=−b4a−12b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)−12b24a2−4c3a−(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)+−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)" role="presentation">x3=?b4a?12b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)?12b24a2?4c3a?(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)+?b3a3+4bca2?8da4b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)x_{3}=\frac{-b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})} -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4c}{3a}-(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a}) +\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4bc}{a^{2}}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})}}}
x4=−b4a−12b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)+12b24a2−4c3a−(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)+−b3a3+4bca2−8da4b24a2−2c3a+(23(c2−3bd+12ae)3a(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)+−4(c2−3bd+12ae)3+(2c3−9bcd+27ad2+27b2e−72ace)23323a)" role="presentation">x4=?b4a?12b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)+12b24a2?4c3a?(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)+?b3a3+4bca2?8da4b24a2?2c3a+(23(c2?3bd+12ae)3a(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)+?4(c2?3bd+12ae)3+(2c3?9bcd+27ad2+27b2e?72ace)23323a)x_{4}=\frac{-b}{4a}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4c}{3a}-(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a}) +\frac{-\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{4bc}{a^{2}}-\frac{8d}{a}}{4\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{2c}{3a}+(\frac{\sqrt[3]{2}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}+\frac{\sqrt[3]{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)+\sqrt{-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}+(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}}}}{3\sqrt[3]{2}a})}}}
看得清吗?这里有一个ｐｄｆ版的(因为公式太长,我只能用A1纸)：

四次方程的求根公式.pdf
184.5K
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百度网盘
我放个图，这里非常感谢
@SCPMTF
为我提供的图片，并允许我在这里使用：

是不是很长呢？
————分割线————
众所周知，我是很鸽的，而且这个答案似乎没有可更的地方，所以.......[逃][doge]

波尔文积分（英语：Borwein integral）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文（David Borwein）和乔纳森·波尔文共同发表了这个涉及sinc函数的积分。
这里面有一个神奇的规律：

一直走着走着，走到这里：

结果下一个就失效了：

参考维基百科：Borwein integral

有人提到说一元四次方程的求根公式很丑，我觉得不然，只要经过几次换元转为一个三次方程即可。

高斯通过计算 \cos \left(\frac{2\pi}{17}\right) 利用尺规作图画出了正17边形，同样地，正65537边形也是可以尺规作图画出来的，但是需要计算 \cos\left(\frac{2\pi}{65537}\right) 。公式极其复杂，一共由4059个公式组成，最后得到的是 \cos \left(\frac{2^{14}\pi}{65537}\right) ，通过角平分线很容易得到整个正65537边形。双栏pdf一共243页，节选几页如下：