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[自然科学]既然加法是基于群论的，为什么小学不先学群论？ |
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既然加法是基于群论的，为什么小学不先学群论？ 关注问题?写回答 [img_log] 小学 群论 数加 既然加法是基于群论的，为什么小学不先学群论？ |
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群还是太高级了，不够基础，我的建议是： |
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著名的法国数学笑话：问小孩3+4是几，小孩说不知道，但是知道3+4=4+3，因为整数与整数加法构成了阿贝尔群。 |
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小学学的是加法半群。饭要一口一口吃。 |
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群论属于数学中的第三级抽象 第一级抽象是用“数”去表示世间万事万物，人类先用自然数表示一个个事物的个体，之后又在实际的几何和测量中感觉到了负数、零和分数，而实数和复数的发现过程就复杂多了。 第二级抽象是用字母表示数，这是在解方程过程中人们发现研究运算时，具体的数字是什么并不重要，用字母表示数能揭示更多运算规律。迈出这一步人类花了几百年时间。 第三级抽象是运算规则的抽象，人类在代数学的进一步研究中发现，非但用来运算的数字是非本质的，具体的运算如“加法和乘法”也是非本质的，本质的是运算律如“交换律、结合律、可逆元、单位元”等概念，通过运算律我们可以把有运算的集合根据运算律区分为不同代数结构从而能更好地研究运算本质和集合的结构，达到这一认识只是近百年的事情。 你想让一个小学生第一级抽象都没理解透就直接进入第三级，可能吗？ |
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1. 数学教育发展了几百年，有惯性。教学顺序不容易一下子改变过来。 2.群是一种有结构的集合。为了学习群论，天真的集合论（naive set theory）要先在幼儿园讲好。正好这本书天真，契合儿童天性。但首先应改革幼儿园教育体系。 |
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3.书没有盖子，有兴趣的家长可以尝试先教会自己的小孩，然后把教学经验整理成教案、教学大纲、讲义，在教育类期刊发表、出版成著作，办新闻发布会，向全国推广。自己也可以依据自己的教学经验办学。目前国家也是鼓励民办教育的。2021年我国颁布了修订过的《民办教育促进法实施条例》。国家对此有一部分解读如下： 《实施条例》的修订强调了教育的公益属性，在发展目标上，更加注重优质特色，着力引导民办学校提供差异化、多元化、特色化的教育供给，致力于解决好人民群众最关心最直接最现实的教育问题。在法律地位上，更加体现平等原则，充分保障民办学校师生的同等权利，依法维护民办学校的同等地位。在政策要求上，更加强调支持规范并重，双轮驱动促进民办教育高质量发展。 《实施条例》明确，实施学前教育、学历教育的民办学校享有与同级同类公办学校同等的招生权，可在审批机关核定的办学规模内，自主确定招生的标准和方式，与公办学校同期招生。 支持+规范 民办教育开新局_政策解读_中国政府网?www.gov.cn/zhengce/2021-06/07/content_5615840.htm#:~:text=%E3%80%8A%E5%AE%9E%E6%96%BD%E6%9D%A1%E4%BE%8B%E3%80%8B%E7%9A%84%E4%BF%AE%E8%AE%A2%E5%BC%BA%E8%B0%83%E4%BA%86%E6%95%99%E8%82%B2%E7%9A%84%E5%85%AC%E7%9B%8A%E5%B1%9E%E6%80%A7%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%8F%91%E5%B1%95%E7%9B%AE%E6%A0%87%E4%B8%8A%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E5%8A%A0%E6%B3%A8%E9%87%8D%E4%BC%98%E8%B4%A8%E7%89%B9%E8%89%B2%EF%BC%8C%E7%9D%80%E5%8A%9B%E5%BC%95%E5%AF%BC%E6%B0%91%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%8F%90%E4%BE%9B%E5%B7%AE%E5%BC%82%E5%8C%96%E3%80%81%E5%A4%9A%E5%85%83%E5%8C%96%E3%80%81%E7%89%B9%E8%89%B2%E5%8C%96%E7%9A%84%E6%95%99%E8%82%B2%E4%BE%9B%E7%BB%99%EF%BC%8C%E8%87%B4%E5%8A%9B%E4%BA%8E%E8%A7%A3%E5%86%B3%E5%A5%BD%E4%BA%BA%E6%B0%91%E7%BE%A4%E4%BC%97%E6%9C%80%E5%85%B3%E5%BF%83%E6%9C%80%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E6%9C%80%E7%8E%B0%E5%AE%9E%E7%9A%84%E6%95%99%E8%82%B2%E9%97%AE%E9%A2%98%E3%80%82%20%E5%9C%A8%E6%B3%95%E5%BE%8B%E5%9C%B0%E4%BD%8D%E4%B8%8A%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E5%8A%A0%E4%BD%93%E7%8E%B0%E5%B9%B3%E7%AD%89%E5%8E%9F%E5%88%99%EF%BC%8C%E5%85%85%E5%88%86%E4%BF%9D%E9%9A%9C%E6%B0%91%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E5%B8%88%E7%94%9F%E7%9A%84%E5%90%8C%E7%AD%89%E6%9D%83%E5%88%A9%EF%BC%8C%E4%BE%9D%E6%B3%95%E7%BB%B4%E6%8A%A4%E6%B0%91%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%9A%84%E5%90%8C%E7%AD%89%E5%9C%B0%E4%BD%8D%E3%80%82,%E5%9C%A8%E6%94%BF%E7%AD%96%E8%A6%81%E6%B1%82%E4%B8%8A%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E5%8A%A0%E5%BC%BA%E8%B0%83%E6%94%AF%E6%8C%81%E8%A7%84%E8%8C%83%E5%B9%B6%E9%87%8D%EF%BC%8C%E5%8F%8C%E8%BD%AE%E9%A9%B1%E5%8A%A8%E4%BF%83%E8%BF%9B%E6%B0%91%E5%8A%9E%E6%95%99%E8%82%B2%E9%AB%98%E8%B4%A8%E9%87%8F%E5%8F%91%E5%B1%95%E3%80%82%20%E3%80%8A%E5%AE%9E%E6%96%BD%E6%9D%A1%E4%BE%8B%E3%80%8B%E6%98%8E%E7%A1%AE%EF%BC%8C%E5%AE%9E%E6%96%BD%E5%AD%A6%E5%89%8D%E6%95%99%E8%82%B2%E3%80%81%E5%AD%A6%E5%8E%86%E6%95%99%E8%82%B2%E7%9A%84%E6%B0%91%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E4%BA%AB%E6%9C%89%E4%B8%8E%E5%90%8C%E7%BA%A7%E5%90%8C%E7%B1%BB%E5%85%AC%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E5%90%8C%E7%AD%89%E7%9A%84%E6%8B%9B%E7%94%9F%E6%9D%83%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E5%9C%A8%E5%AE%A1%E6%89%B9%E6%9C%BA%E5%85%B3%E6%A0%B8%E5%AE%9A%E7%9A%84%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E8%A7%84%E6%A8%A1%E5%86%85%EF%BC%8C%E8%87%AA%E4%B8%BB%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E6%8B%9B%E7%94%9F%E7%9A%84%E6%A0%87%E5%87%86%E5%92%8C%E6%96%B9%E5%BC%8F%EF%BC%8C%E4%B8%8E%E5%85%AC%E5%8A%9E%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E5%90%8C%E6%9C%9F%E6%8B%9B%E7%94%9F%E3%80%82 |
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按你这个玩法，物理得从量子力学开始讲起。 化学得先从什么是强力什么是弱力讲起。 语文得先从结绳记事讲起。 地理得先从地球得形成讲起。 这个学不上也罢。 |
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一年级很多小朋友的数学水平是，你教了2+5=7，再问5+2等于几，他说，不知道 |
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翻了下题主的主页，私认为题主不大可能知道群的定义 |
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还是先从最简单的1+1=2学起比较好。 |
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先问是不是，再问为什么。 加法不是基于群论的。 加法首先定义在自然数上，然后一步一步推广到整数乃至实数。而在自然数上的加法有两种常见的定义，一种是基于后继数的递归定义，即皮亚诺算数公理；一种基于集合论，取两个不相交的集合的并集的基数。无论是这里面的哪一种，在逻辑上都是不需要群论的。 所以哪怕是再布尔巴基的人，也不会要求先学群论再学加法。 在上世纪七十年代左右的新数学教育改革时期倒是有过先教集合论再教加法的尝试—从逻辑上来讲这是正确的，毕竟教小孩皮亚诺公理更不现实。然而哪怕是用图画表示的“直观集合论”对很多孩子来讲仍然无法理解—有一定天赋的孩子是可以明白的，但是要求全班同学都掌握是强人所难。所以这种思路后来也被废弃了。 整数的加法群是最简单、最容易理解的（阿贝尔）群，这是另一件事。它不代表加法是基于群论的，但是却说明可以用加法做例子讲解群的概念。也就是说在介绍完加法之后是可以引入群的概念的。这也是目前最为偏向抽象和纯数学的教法，多见于法国，也是“法国小学生人均阿贝尔群”的笑话的出处。鉴于法国数学教育的成就，这个思路其实可能对培养数学人才有一定的好处。 |
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既然加法是基于群论的，为什么小学不先学群论？因为小学师资达不到。类似地，为什么过去英语要到中学才开始学，而现在小学就开始学了？也是因为过去小学师资达不到。千万别说什么群论多复杂，小孩子学不懂或学了没用。师资达不到就承认达不到，以我学群论和考驾照的经验，二者难度差不多。 |
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小学学习的自然数具有加法和乘法，但没有负数，所以不是群，是一个交换半环。所以会有加法和乘法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律。 小学学习的整数具有加法和乘法，同时也有负数，所以不仅是一个加法群（阿贝尔群的俗称），而且还是一个交换含幺环（含有乘法单位元的交换环）。所以会有加法和乘法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律。同时还有相反数，也就是每一个整数都有逆。 所以，在小学掌握好加法和乘法的实际运算过程，能熟练计算自然数和整数的加法和乘法，熟练使用加法和乘法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律来简化计算，利用与相反数相加等于0的性质来简化计算。恭喜你，你已经学习并熟练掌握了交换半环和交换含幺环的一个实例，有了交换半环和交换含幺环中的加法和乘法运算及其运算规则的很好的实际体会，对以后学习群和环的概念打下了良好的基础。 如果你进一步对整数中的除法的求余运算熟练掌握，并有很好的直觉体会，知道所有余数相同的整数是同一类的（就是同余类），那你就学会了对群的划分，也就能够理解子群的陪集了。如果你够聪明，会发现给你一个整数z, 这个整数乘以任意一个整数n得到的序列{-1z, 0z, 1z, 2z, 3z, ...} 构成了一个集合，同时这个集合加上整数的加法也构成了一个加法群，而且是整数加法群的一个子群，就得到了整数环的一个理想，对环的理想有了一个实际的体会和良好的直觉。 如果你知道把对同一个整数m做求余运算得到的所有余数{0, 1, 2, ... m -1}构成一个集合（就是完全剩余系），你会发现，这个集合加上模m的加法也构成了一个群，这就是加法群的商群。 如果你对素数（也叫质数）很有兴趣，对其在乘法运算下无法再分解的性质有很深的理解，知道给定一个素数p，如果任意两个整数a和b相乘之后能够被p整除，就一定有a或者b能够被p整除，那你很可能会发现一个素理想{-1p, 0p, 1p, 2p, 3p, ...}。于是对难以理解的素理想也有了良好的直觉。 你继续探究整数中乘法和加法的关系，知道0z = z - z, 1z = 0 + z, 2z = z + z, 3z = z + z + z，你会发现整数环的任意一个理想{0z, 1z, 2z, 3z, ...}，可以仅由一个整数z通过加法群的加法运算得到，即由群的一个元素生成一个理想，这是一个主理想。于是你就得到了主理想概念的直观理解。知道整数环是一个主理想环。 所以，学好小学的自然数和整数的加法和乘法，并彻底理解透这些运算的性质和规律。会给以后学习抽象代数中的群论打下一个良好的基础，能够建立理解群论的良好直觉。 |
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加法不是基于群论，而是基于原始的以物换物如何等价交换而产生的。不要乱搞概念的祖母悖论，不然是学不好任何一门的理工学科的。 |
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运算本质是数对到数的映射，映射到本质是关系，关系的本质是笛卡尔积的子集……，总之不学完数理逻辑、模型论、公理集合论别想学小学算术，小学也别想毕业（doge （抄一个评论 |
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既然思想是基于脑袋的，为什么小学不先学脑神经科？ |
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加法不是基于递归定义？ m+0=m m+S(n)=S(m+n) S是后继函数 |
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小学数学本质上是一门实验科学。10以内的加法，进位的加法，加法交换/结合律……都是通过我们数手指/数纸片数出来的。 群论什么的，都是试图抽象并解释小学数学课观察到的这些现象，得到的数学工具。 觉得「加法基于群」就要先学群，就有一种先学求解薛定谔方程，再学习初中化学的美…… |
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我来抄个作业…… 群论 群论是数学中研究群的一门分支。 群是一种代数结构，它由一个集合和在该集合上定义的一个二元运算组成，满足四个性质，分别是封闭性、结合性、存在单位元和存在逆元。 具体来说，一个群G是一个集合，配备了一个二元运算（通常表示为乘法），满足以下性质： 封闭性：对于任意属于G的元素a和b，它们的乘积ab也属于G。结合性：对于任意属于G的元素a、b和c，满足(ab)c = a(bc)。存在单位元：存在一个元素e，对于任意属于G的元素a，有ea = ae = a。存在逆元：对于任意属于G的元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e，其中e是单位元。 群论的研究涵盖了许多数学领域，包括抽象代数、数论、几何学等。群论在解决代数方程、几何问题以及物理学中的对称性问题等方面有广泛的应用。 ZFC 公理系统 ZFC 公理系统是一种用于描述集合论的规则集，由弗朗西斯·戴维·里德（Ernst Zermelo）和阿伦·哈罗尔德·斯科勒姆（Abraham Fraenkel）等人提出。这个系统有一些基本的规则，帮助我们理解集合的性质。 空集公理（Axiom of Empty Set）： 存在一个空集合，即没有元素的集合。对集公理（Axiom of Pair Set）： 对于任意两个集合，存在一个包含这两个集合的集合。并集公理（Axiom of Union Set）： 对于任意集合，存在一个集合，其中的元素是原集合中所有元素的并集。无穷公理（Axiom of Infinity）： 存在一个集合，其中包含空集，且对于集合中的每个元素a，都包含其后继元素a∪{a}。替换公理（Axiom of Replacement）： 如果有一个集合A，对于A中的每个元素a，存在一个唯一的集合B与之对应。能力公理（Axiom of Power Set）： 对于任意集合，存在一个包含该集合所有子集的集合。选择公理（Axiom of Choice）： 对于任意一组非空集合，存在一个集合，它包含每个原始集合中的一个元素。 这些公理构成了 ZFC 公理系统，帮助我们更准确地定义和研究集合的性质。在高阶数学中，这些规则被用于建立更复杂的数学理论。 集合的势 集合的势，通常被称为集合的基数（cardinality），是用来度量集合中元素个数的概念。在数学中，我们经常用符号 "|A|" 表示集合 A 的基数。 集合的基数可以是有限的，也可以是无限的。下面简单介绍两种情况： 有限集的基数： 如果一个集合包含有限个元素，那么它的基数就是元素的个数。例如，集合 {1, 2, 3} 的基数是 3。无限集的基数： 对于无限集，我们不能用常规的数来表示其基数。为了比较不同无限集的大小，引入了不同基数之间的比较。其中一个著名的无限基数是阿列夫零（Aleph-null），用 ?? 表示，表示可数无穷，即集合的元素可以一一列举。 如果有两个集合 A 和 B，存在一一对应的映射（双射）将 A 的元素和 B 的元素对应起来，那么我们称 A 和 B 具有相同的基数。这样的集合称为等势集合。 例如，自然数集合 ? 和偶数集合 {0, 2, 4, ...} 具有相同的基数，因为存在一一对应的映射，将每个自然数与它的两倍对应。 在集合论中，基数理论是一个深入且复杂的领域，涉及到无限集合的比较和运算。 Cantor 的基数理论为我们提供了一种深刻的理解，同时也为我们处理不同势集合的问题提供了工具。 |
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教学顺序不能脱离数学发展的历史，同一个数学分支内，主要参照数学史来进行教学是最符合人类 认知规律 的，当然，可以适当的进行调整。 人类认知加法的时间远远早于群论，学生学习首先要考虑教学，而不是考虑这个理论本身的抽象关系。 包括现在抽象代数这套教法我都觉得不合理，应该先讲解方程，然后引入伽罗瓦理论，然后再推广到一般的群论。 现在的很多数学书之所以难学难看，也是因为按照“逻辑”和“观点”的顺序去讲，而不顾学生的认知难度。 我尼玛，你教科书不按人的认知去讲，一味注意自己的严密性，注意自己的高观点，“不管你学不学会，反正这东西就是这样，我写的是有逻辑的”是吧？反人类这属于。 |
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加法怎么就基于群论了。。连实数还是整数亦或是正数都不限定是吗。。。 |
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对这个话题非常感兴趣。 加法我知道，比如，1+1=2，2+3=5，扳指头就能数出来 5+6=11，稍微有点难，我不得不把脚趾头也从袜子里面拿出来用 但是，能不能简单介绍一下什么是群论？不要太复杂了，毕竟我还太小，数量超过手指和脚趾头总数，我就算不出来了！ |
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啥时候“加法基于群论“的？ 您这基础就不对啊。 群论说在集合上定义二元运算，考察集合和运算的性质。 首先要学习集合，然后是二元运算，最后是性质。 学习集合，我个人认为应该加入到小学数学中去，这是现代数学的基础，而且抽象程度可高可低，小学可以抽取其中便于理解的定义、基本运算。 二元运算和性质，有两种教学方法： 一种是先告诉你二元运算的抽象定义，然后举例子；一种是先学很多二元运算，然后归纳成二元运算。 我觉得前一种适合大学以上学习，因为那些例子是已经学过的。第二种正是当前数学教育的方法，学乘法、加法等等。 但是，当前的运算教育方法没有讨论集合下的性质，所以呢，小学学习了集合论以后，可以在高年级，开始探索”封闭性“、”可逆性“的性质。然后用启发的模式，让小学生理解逆运算，把小学学过的所有知识统一起来，可以教整数群和有理数群，还可以讨论”域“。 我曾经教过两个孩子群论的概念，一个小学4年级，一个初二。对最基本的概念和性质都理解了八九不离十。 |
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这样想，属于颠倒本末了。 数学不是思想游戏，它发源于生产需要，也服务于生产需要。 几何源于土地丈量，数论源于记账需要。 概率论萌芽于赌博，微积分为解决运动和曲线问题。 优先掌握初等数学，是优先匹配初级的生产需要。 先学加法，小学生也能开始买菜算账，小卖部进行简单交易。 先学群伦，便带来了过多的知识冗余，这些知识无法在现实中应用。 这是对师资力量、小孩子脑力的巨大浪费。 也不符合教育系统筛选、匹配的初衷目的。 其次，数学发展本身便是从具象走向抽象的过程。 数学，是先有正数，后有0，其次有的负数，后来发展出虚数。 数学发展阶段和人类认知发展阶段是同步的。 具象思维，是人类认知的底层系统，是先天安装在我们认知系统中的，这是硬件，这是萌芽。 抽象思维，是人类认知的高级思维，是后天学习归纳中产生的认知结果，这是软件，这是成熟。 小孩子在发育的过程中，硬件是齐全但软件是缺位的。 所以，从加法开始，就是从基础开始，从具象开始启蒙孩子的抽象能力。 最后，任何学科的教育，都是从知识开始到能力结束。 先掌握知识点，再掌握知识体系，最后提高思考能力拓宽思考维度。 一步一登梯，并没有捷径可走。 |
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小学生背唐诗之前有没有好好研究训诂啊？ |
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加法不是基于群论的，（abelian）群论是基于加法的 |
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说“加法是基于群论的”并不符合实际。我们说“整数（或实数）与普通加法运算可以构成群”，并不意味着加法是“基于”群论的。 一个理论体系的表述与实际的历史发展往往是两回事，微积分提出的时候，实数理论还远没建立。但现在的数学分析教材往往是基于实数理论展开的。不至于我们教小朋友数数，还得从介绍自然数的皮亚诺公理开始吧。 至于群论是否“简单”，那得看你打算掌握到什么程度了。让小朋友象背唐诗一样的背群公理，然后对照整数加法生拉硬扯的介绍一番。过后孩子们还得对着100以内的加法题咬笔杆。即使背熟群公理也帮不上任何忙。 我不知道是否有初等教育改革家，认为有了方便的计算器，以后不需要教孩子们四则运算了。数学课就从群开始吧。干脆直接从环开始吧，连乘法也有了。 也许可以试试。几十年前，就流行过”人有多大胆，地有多大产“这样的口号。说不定能”弯道超车“。 |
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好像法国这么搞过，什么布尔巴基学派，后来放弃了。 其实，任何语言都不可以一致而完备，这里的一致和完备不是哥德尔不完备定律的一致完备，但是也类似。一致指无歧义，完备指能表述任何要表述的意思。 语言的完备性与一致性不可兼得。数学语言是一致而不完备的，自然语言是完备而不一致的。这就产生了两个问题： 一、数学语言的不完备，数学语言总存在“不能在本语言中，用更基础概念定义或说明的概念”——比如集合、命题。 集合的概念、元素的概念、都不能用集合论中更精确的语言定义； 命题的逻辑关系，比如“若A则B”（简写做A→B）不能用命题逻辑中更精确的语言定义； 举两个更具体了例子： 1、集合X包含元素x，包含元素的集合不是空集，所以集合X不是空集。这是集合论中必然使用的演绎，然而这个论断实际上使用了形式逻辑。 2、若存在满足A而不满足B的的情况，则“若A则B”是错的。——这里的情况是模糊的概念 需要说明的是，数学语言的不完备性应区别于哥德尔不完备定理，但是两者存在一定的联系。 二、自然语言的不一致性 自然语言存在“使用更模糊的意义描述更具体的意义”的过程。 比如我们学习集合论，就必须依赖自然语言：苹果是一种集合、整数是一种集合，如此等等。 反过来，我们定义整数，又说整数集是一个“满足××条件的集合”，苹果是“某纲某目植物的果实”“纲、目等又是集合上的概念”。 自然语言的这种“循环定义”的过程，导致其意义必然存在歧义。这也是我们讨论问题常说的“鸡同鸭讲”。因为我们用的是自然语言。 看起来，张三说的苹果与李四说的苹果都是一种东西。但是更抽象的概念——比如“概率”“事件”“若A则B”“证伪”这些概念一些文科生就不能精确理解。 “集合”“逻辑”这些概念，在不同的人理解下，意义是十分接近的，但是不是严格一致的。 我们之所以能够通过自然语言交流，本身就是一种“求同存异”的过程。我们学习自然语言的过程，也是根据外界环境“猜测”词义的过程。 所以说，集合论也好，抽象代数也好，命题逻辑也好，并不比小学加法更准确。 题外话： 我读过很多逻辑学读物，从数学上的形式逻辑到哲学上的自然逻辑。但是我和人“辩经”的时候，却很困恼，我发现很多哲学系的连无矛盾律都不承认，经常把逆命题当逆否命题处理。 所以我在2023年放弃了对自然哲学体系的整理，转而认为，逻辑是先天的。 任何逻辑书籍，都只是约定逻辑演绎的共同表达形式和讲述逻辑的应用。截止到GPT4.0，人类不具备任何方法把一个无逻辑的机器（包括碳基和硅基）转换成有逻辑的。 逻辑是一种纯粹的天启。 |
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这提问真是哗众取宠。加法是基于群结构的，谁告诉你是基于群论的了？ |
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你写论文可以署名布尔巴基了 |
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12345还属于实数呢，学加法之前是不是还要先从实数完备性学起？ |
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