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[自然科学]数学是从什么时候开始反直觉的？ |
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历史上数学的发展，一开始是以直觉为基础。是从什么时候开始，或者说是什么事件导致了，数学家们尝试去研究反直觉的问题。不否认有个别人超越时代，这里提的是大… |
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当你知道存在处处连续处处不可导的函数的时候，当你知道实数不可数的时候，你就应该对你的直觉有所警惕了。 朴素的直觉，其实是一种有限归纳，不完全归纳。我接触到的这几个特例都是这样的，我觉得他们具有代表性，所以我认为普遍情况也是这样的。但是人思虑不周，以偏概全的情况实在太常见了。不光是数学，生活也一样。本质上是因为大脑只能处理有限的信息，但同时他又要高速处理，所以要做剪枝，要优化。但是剪枝把正确答案剪掉了不是很正常的么？ 你第一次接触“病态反例”的时候觉得不符合直觉很正常。但人要承认自己会犯错误，会有疏忽，你应当把你疏于考虑的情况加到你大脑的数据集里去，校准你的直觉。就好比机器学习犯错的时候有惩罚函数一样，你应该加大疏于考虑的例子在惩罚函数里的权重，强化记忆。而不是说：“我不想改变我固有的认知。能不能改变逻辑让他符合我的直觉？”这是一种傲慢。无知和弱小不是生存的障碍，傲慢才是。 |
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我觉得数学专业的学习不是反直觉，是培养正确的直觉。 |
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1、是否存在处处连续，处处不可导的连续函数？ 在数学分析的发展过程中，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间内，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。但Weierstrass对上述猜测给出了反例： f(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)" role="presentation">f(x)=∑n=0∞ancos?(bnπx)f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x) 魏尔斯特拉斯函数是第一个被发现的处处连续而处处不可导的函数，说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。 2、圆周率还可以这么算？拉马努金说：我可以 1π=229801∑k=0∞(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k" role="presentation">1π=229801∑k=0∞(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k{1 \over \pi}={2\sqrt{2} \over 9801}\sum_{k=0}^{\infty}{(4k)!(1103+26390k) \over (k!)^4396^{4k}} 第一次看到这个公式，心中只有两个字：牛逼！拉马努金，不愧是可以感知无穷的人。 哈代如此评价：“它们一定是正确的。如果不正确，谁也不会有这样高的想象力去想出他们。” 3、随机游走，鞅竟然如此神奇？ 假设一个质点在每一个时刻向左或向右移动一格的概率相同，每次移动是相互独立的，且最初位于原点。那么从原点到达1的平均时间？ 答案是无穷，是不是觉得有些奇怪？事实上，用概率论的方法也能求解。但构造鞅后，验证停时定理，可直接证明从原点到达1的平均时间是无穷。 4、概率论中的反直觉 与概率论相关，可以搞出很多与直觉相反的问题，比如最著名的三扇门问题。 三扇门问题：参赛者参加电视节目，会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。 你的直觉是什么，不会，每个几率都是1/2吗？事实上，如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。不妨仔细考虑下这个问题，是个有趣的问题。 为了构造反例，来证明某一项定理或猜想是错误的，会间接导致产生一些反直觉的问题，概率论中就有很多这样的事情，而这也会促使着学科的完善和向前发展。 事实上，违不违反直觉要看一个人对于数学的感知和能力。对于同一个问题，有的人看就违反直觉，难以置信，有的人看就很显然。我弟弟，今年高二，他就经常问我一些高中的题目。在我看来很显而易见的事情，看不出来一定是没好好学。但对我而言，我不能理解的问题，在大佬眼里也可能会觉得非常简单。 一个关于数学家和“显然”的经典笑话： if Wedderburn says it's obvious, everybody in the room has seen it ten minutes ago.if Bohnenblust says it's obvious, it's obvious.if Bochner says it's obvious, you can figure it out in half an hour.if von Neumann says it's obvious, you can prove it in three months if you are a genius.if Lefschetz says it's obvious, it's wrong. |
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反直觉或者说反直观，一般是对数学系的学生而言的，你若没怎么学数学连基本的觉和观都不会有，又怎么反呢？ 没学数学的人，对高深的东西本来就不懂也就无所谓直觉或是直观了，对于简单就能描述的东西，比如哥德巴赫猜想，你的直觉跟认识没有矛盾，你拿几个数试一试就行了。 早期的数学之所以有很多直观的感受，是因为有大量的几何和数论的内容。 比如几何，你画个图就产生直观的想法了。数论就简单做个计算的试验，比如哥德巴赫猜想或者费马大定理，你拿些数字试一试。 哥德巴赫猜想说大于2的偶数可拆成两个素数之和，比如6=3+3,10=3+7,40=11+29…… 试了一下午后，你可能就会下这个论断，然后开始尝试去证明它。 结果，一上午，一个月，一……一辈子过去了，你还是没整出来。 到后来，随着人类活动的复杂，比如战争，瘟疫，病毒，等各种危机，数学也跟着应用需要随着拓宽。 复数（根号-1）来了，无限（微积分，极限）也来了，总之事情越来越复杂。 直到伽罗华的出现，搞出群论，把连带整个数学的所有分支都去欢天喜地搞公理化。 这是一个显著的里程碑。 后来者要学数学就得从他们写好的公理化的教材入手，一来就是公理假设，虽然也会给你举些例子，但是你已经不能从中获得这个概念的发展进程了，因为只有知道发展进程，你才能更好的认识问题，提出问题的动机等等。 从这开始，就损失了很多直观的东西。 再后来，就有很多人出来反对这股公理化运动，觉得这样思考问题不妥。当初伽罗华发现群论，又不是从群概念的公理化定义出发，他是从实际的问题“五次以上方程的根式解”发现高次方程的复数根具备一种对称性，这种对称性可以通过变换来体现，才去研究这些变换构成的集合，从而发现群这个东西的。 而我们学东西是反过来的，先学一堆公理化的概念，如线性空间，线性变换，群环域等，等到学了一大堆后，才发现原来可以用来证明“五次以上方程无根式解”，而不感兴趣的人早就因为前面的学习而消耗了大量的兴趣和精力，只有少数人还记得这个目标或者问题。 这就是普遍数学系本科感到数学越来越抽象，越来越无法直观理解和描述的原因。 至于一些更小的反直觉感受，比如存在处处连续又处处不可导的函数等，你反直觉只是对于严格证明你做不动，一旦画出图来你其实还是能直观理解的，而要是学了更高阶的随机分析或者随机微分方程等，你会发现这种现象其实很普遍，因为大量的随机变量都有这个特点。 这也是为什么股票，噪音等图像看上去一大堆尖角，其实处处是尖角就是上述函数的特点，也是随机变量的特点，这也是金融产品（都有这个特点）为什么总是一茬又一茬的韭菜。 学过随机微分方程的人，就不会陷入这个人性漩涡。 丹尼尔卡尼曼用心理学去解释人们面对随机现象时的决策行为，应用到金融市场，便发展了金融行为学，拿了2002年的诺贝尔经济学奖，他本科学的心理学和数学。 这个话题再聊就打不住了，有兴趣的可以看看他的那本经典之作《思考，快与慢》，是心理金融数学融合的科普之作。 |
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我儿子昨天问我10加几等于6 我随口一说负四 他懵逼了，负四是啥? 这时候就开始反直觉了吧 以前他问我，今天给我买几个零食? 我说0个 他对我一笑，这他还能理解 |
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买的基金先涨20%再跌20%，你亏了，先跌20%再涨20%，你还是亏了 |
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其实，柏拉图一直就很强调几何不是感官直觉的对象了… |
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数学的直觉才最接近神本身的直觉 人作为凡类中的万物之灵长，本身先天自带的直觉是对神之直觉的最佳逼近，但毕竟神之直觉是更为上位的存在，只有经过严格的数学训练，你的直觉才能达到神。 也就是说，先天自带的直觉是未经打磨的，粗糙的，经过严格的数学训练之后，你的直觉自然就正确了。 |
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老板给我调工资： 这个月涨薪20%，下月降薪20%。我感觉无所谓，相当于不增不减呗~ 结果发现工资少了4%…… 老板又给我调工资： 这个月降薪20%，下月涨薪20%。我内心狂喜，工资可以恢复了吧~ 结果发现工资又少了4%…… |
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大概是从接触到无穷开始（虽然现在想想也不是什么了不得的东西）。 在有限的情况下，比较两个集合的大小是轻而易举的一件事。你有两筐苹果，就是先数A筐一共有多少个，B筐一共有多少个，然后看哪边的结果大。 但是在无限的情况下，你没有办法进行“数A筐有多少个苹果”这个行为，因为无限多个这个条件意味着整个过程将是没有尽头的。。。 所以，你必须要找到一种更“有效”的方式判断两个集合的大小是否相等。 大家普遍采用的方式是双射（bijection)，或者说一一对应（其从高中教材中删去叫我非常意难平）。 所谓双射，即是一个从A集合到B集合的函数f，满足1）对于任意一个B集合中的b，皆有一个 f(a)=b" role="presentation">f(a)=bf(a) = b 2） 同时对于任意不同 a,a′" role="presentation">a,a′a,a' , 皆有 f(a)≠f(a′)" role="presentation">f(a)≠f(a′)f(a)\neq f(a') . 这个定义在有限上非常合理。两筐苹果数目相等，那么一定满足这种一一对应关系。所以把他拓展到无限的情况下也是顺理成章的事情。 但是在无限上，画风就有点不对了。。。 比如说考虑所有自然数集合 N" role="presentation">NN 和所有的偶数 2N" role="presentation">2N2N ， 你会发现两个集合的“数目”是一样的，因为 f(x)=2x" role="presentation">f(x)=2xf(x) = 2x 就是一个明显的满足这一条件的一一映射。 接下来你还会发现， N" role="presentation">NN 和所有的有理数集合 Q" role="presentation">QQ 的数目是一样的。 当然，无限里面也是分层级的，比如说 Q" role="presentation">QQ 集合就是比实数集 R" role="presentation">RR 小的。 这些在我刚学数学的时候让我吃了一壶。。。 welcome to the world of （elementary）mathematics。 |
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只是没有用心思考而已 有两条绳子，一条贴地面围绕赤道一圈，另一条距离地面1米的距离，围绕赤道一圈。 两条绳子相差多长？ 并没有很长 |
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单休是上6天班休一天 大小周是上4天班休一天 双休是上两天半班休一天 |
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小学四年级：射线的长度不是直线长度的一半 |
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我猜题主问的是数学家们从什么时候开始热衷于发展反直觉的数学，而不是问你学习主流数学学到什么时候会学到反直觉的结论。在这种解释下，我觉得是从公理化和形式主义开始的。更具体的可能是从非欧几何开始。 |
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99%跟99.99%看起来差不多，但中间差了99%。纯度99%的物质，所含杂质是纯度99.99%物质所含杂质的100倍。 舒肤佳的广告就是这么欺骗你的，99%的除菌率太容易达到了，清除99%的细菌完全可以通过清水冲洗达到，不需要什么肥皂。 一支股票跌了99%，你觉得到底了，买了一万，结果它跌了99.99%，跟99%也差不多嘛，但你的一万还剩100了。就是这么神奇。 |
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1+2=3 2+1=3 我小时候就觉得这玩意很反直觉，还自己数了好几次。 |
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十二个选择题没有蒙对一个的时候 |
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你不是去学习数学，你只是习惯了数学。当你习惯了它们之后，你的直觉被训练了出来，原本反直觉的东西也不再反直觉。 |
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第一次数学危机，毕达哥拉斯学派把发现了无理数的人扔河里淹死了，因为他们无法理解不能被两个自然数和分数线表达的数字存在，这个人亵渎了数学的完美。 该事件距今两千年以上，彼时秦始皇还没统一中国。 |
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反正我是前几天数分课学到黎曼重排定理突然就感慨万分的 |
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只有加法交换律受伤的世界达成了！ |
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那天 我的感慨如上。 4.5日追加： 评论区有一种风气觉得绝对收敛是被束缚住了…… 我只想问问大家，你做题希望遇到绝对收敛还是条件收敛还是不收敛…… 我要是能绝对收敛我多开心啊！不用我自己变来变去就有人喜欢研究我！！！ |
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数论魔导华罗庚，积分尊者莱布尼茨，如来神展傅立叶，勾股圣手毕达哥拉斯，百算神童高斯。 |
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欢迎评论区补充~ |
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数学似乎一直都很反直觉。 人脑本来不擅长复杂的数学，是多年的训练改造了大脑 以下是我印象最深的几次： 第一次是幼儿园，算7+8，我想了半天也不理解为什么是15。 麻麻让我掰手指，我说手指不够，她说借我两只手。数了好几分钟，终于数到15，然而还是非常疑惑为什么。。。 第二次是我刚学了乘法分配律。我妈问(a+b)^2是什么，我说a^2+b^2。 那次我正躺在她送我去学校的车后座上，没有纸币帮我，就一直在想2ab这个项是哪里来的 第三次是高中的物理课了。老师出了道题，说假设有一个引力的dipole，即一颗正质量的星球和一颗负质量的星球，而你在他俩的中线之上离着比较远的一点，问你的重力势能是多少？ 我的数学公式告诉我，如果我沿着中线做一个积分，因为线上的引力都是0，我可以不费能量的推到无限远，所以势能为零。但是无论如何我也无法说服自己这个答案。 老师说，虽然是考试，但你可以写个代码试一下。我用visual python很快做了个动画。我发现我会因为引力绕着dipole进行一个半圆的运动，直到另一端的中线，然后再回来。 我想，如果我重力势能为零，我要是给一点点初始的动能，我就可以跑到无限远。 我给代码里象征我自己的正质量球加了一点点速度，然后开始运行模拟。这个球还是绕着这条轨道，似乎没什么变化。 我心想，我的公式一定错了，于是把答案涂了交了白卷。 老师说答案是零，我本来写对了。 我后来点开了代码，发现其实小球是有变化的，每一次的半圆运动的半径都会增加一点点。如果程序跑得够久，也是可以到无限远的。我的代码没错，只是我不够有耐心，没试试更大的初始速度或者更快的时间推演。 这件事我一直印象很深刻，我竟然都做出正确答案了，还坚持错误的观点。 第四次是高中数学课上，老师讲到各种数值做积分的方法，比如用小方块去估计，梯形去估计，那么很自然的就会有用抛物线去估计。 然而神奇的事情是，课本上写了抛物线法只对估计4次及以上的多项式有误差，换言之抛物线可以完美估计三次方程曲线下的面积！ 我算了半天，果然如此。然而因为我没学计算数学，我到现在还不明白。 第五次是有理数可数 第六次是无理数不可数，以及它的推论哥德尔不完备定律和图灵机停机问题 但是上了大学之后反直觉的事情反而是越来越少的，毕竟接受了那么多的训练。 还要感谢3blue1brown，很多时候我是先有正确的直觉，再看到具体的公式细节的。 如果你们对物理题好奇我可以讲讲。 我们是AP物理班，老师说A是正常考试就能给，但是A+必须要考附加题。这个附加题是每章一道题，都是要么很难要么很繁琐的，给最多3个小时算，但一般一个小时做不出来就永远做不出来了。不许查书，但能现场写代码。 dipole就是其中一道，算是其实不难，但很巧妙的题。 我印象里还有一些比较狗的题。 比如有一个倒扣着的抛物线形状的轨道，你从轨道的下沿/内沿按照一定初始速度发射一台小车。问小车所受的向心力在哪个点最大。 所以可以想像有三种情况。 一种情况是小车速度不够，所以其实在轨道上还没到顶就掉下来了。我印象里向心力最大的点好像是初始点，可能记错了。 第二种情况是小车速度很大，嗖一下就跑完了抛物线轨道。那样离心力最大点是轨道的最高点。 第三种情况就太狗了，是速度既够靠离心力走完全程，但是又没有那么快。这样的话小车的离心力在某个中点，我印象里答案写出来有三行，但老师说不对。 反正我应该是我们班唯一做出来过附加题的 |
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这里介绍一个最近一段时间里，我觉得非常反直觉的一个极值图论的结果。 极值组合里的问题，一般来说研究的顺序是这样的： 首先我们要确定研究的问题是一个极值问题。几乎所有问题，我们都无法得到精确解。所以我们会研究它的渐近阶。比如说希望关于主变量 n 的渐近阶是平方阶的 \Theta(n^{2}) 或者是线性阶的 \Theta(n) 等等。但一般情况下，我们也很难得到一个问题的渐近阶 \Theta(n^{\gamma}) ，常常我们只能得到一个下界 \Omega(n^{\alpha}) 和一个下界 O(n^{\beta}) 。有时候如果很幸运地得到了一个极值问题的渐近阶 \Theta(n^{\gamma}) ，我们会进一步地关心一些相关的问题，比如它地渐近值的常数系数，即 Cn^{\gamma} 中的 C 等等。我们对一个极值问题的数值搞清楚后，我们还会关心，达到极值情况的结构又是如何如何的。当然，很多时候，结构的分析，是和数值的计算一起出现的，并不一定存在顺序上地先后关系。 随着这么多年的发展，极值组合领域已经有不少的问题，已经达到了能够确定它的渐近阶 \Theta(n^{\gamma}) 的层次。而由于许多极值问题之间具有很多相似性，所以当我们掌握了较多已知渐近阶 \Theta(n^{\gamma})的问题后，我们就会对未知的问题产生一些所谓的“直觉”，并且，这些直觉居然常常是对的。 但极值组合里也有很多反直觉的情况，有很多著名的例子，随手举几个： 1972年Szemeredi证明了Ramsey-Turan数\text{RT}(n,K_{4},o(n))\leqslant(\frac{1}{8}+\epsilon)n^{2}。大多数人的直觉都是 \text{RT}(n,K_{4},o(n))=o(n^{2}) ，但是没过几年Bollobas和Erdos就偏偏构造出了达到上界的例子。Hedetniemi's conjecture，说的是两个图的张量积的染色数一定同时小于等于原来两个图的染色数。2019年俄罗斯数学家Yaroslav Shitov找到了反例，写了一篇只有3页的论文，发表在数学界顶尖期刊Annals of Mathematics，这个结果也许对整个图论界都是很反直觉的事情。 以上这两个例子可以详见 下面介绍一下今天的主题： Extremal number of tight-cycle-free hypergraphs 首先我们需要在 r-uniform hypergraph上定义一个叫作tight cycle的东西。当 r">\ell>r 时，我们定义一个长度为 \ell 的r-uniform tight cycle，它的点集为 v_1, v_{2},\ldots,v_\ell ，它的边都形如 \{v_i,v_{i+1},\ldots,v_{i+r-1}\} ，要跑遍所有的 i ，以及它的角标要做\mod\ell 的运算。 有一个重要的极值问题是问，如果一个 n 个点的 r-uniform超图 G ，它不包含任何长度 \ell 的tight cycle，那么超图 G 的最大边数是多少？我们记这个最大边数为 f_{r}(n) 。 当r=2 时，问题就退化到普通图上，这个问题比较简单，很久以前人们就知道 f_{2}(n)=n-1 当 r\geqslant 3 时，我们可以通过构造一个特殊的超图 G ，即 G 中的每一条超边都包含某一个相同的点。由于 G 是 r-uniform的，这个构造就给出了一个下界 f_{r}(n)\geqslant\binom{n-1}{r-1} 。而且挺好的是， r=2 时的结果也长成这个样子。 所以很多数学家就猜测， f_{r}(n)=\binom{n-1}{r-1} 。对，这就很符合“直觉”。产生这种直觉的原因可能有很多，比如说当 r=2 时，f_{2}(n)=n-1 就是对的。再比如说，一个固定点的结构，在另一个特别著名的Erdos-Ko-Rado定理里，恰好就是极值情况。 首先给出反直觉的下界的是两位著名的数学家黄皓老师和马杰老师，在2018年的文章中，他们证明了当 n 充分大时，存在一个 c_{r}\geqslant 0 使得： f_{r}(n)\geqslant (1+c_{r})\binom{n-1}{r-1} 。 (Huang and Ma, 2019,SIDMA) f_{r}(n)\geqslant (1+c_{r})\binom{n-1}{r-1} ，其中 c_r\geqslant 0 。 我们按照时间线叙述一下这个问题。尽管这个问题非常重要，但是在今年之前，关于 f_{r}(n) 的渐近上界，已有的结果非常非常稀少。比如上面我们提到的猜想中，人们普遍认为 f_{r}(n)=O(n^{r-1}) ，但实际上一般情况下，人们只能证明 f_{r}(n)=O(n^{r-2^{1-r}}) ，后者则来源于一个观察：即complete r-partite r-uniform hypergraph K_{2,2,\ldots,2}^{(r)} 会包含一个长度为 2r 的tight cycle，显然，这距离 O(n^{r-1}) 的梦想还差很远。 2020年9月，著名数学家Prof. Sudakov与博后Istvan Tomon利用在超图的line graph中寻找robust expanders以及非常好用的一套Density increment argument，证明了一个非常强劲的结果。 (Sudakov and Tomon, 2020+) f_{r}(n)=O(n^{r-1}e^{c_{r}\sqrt{\log{n}}}) ，其中 0">c_{r}>0 。 并且他们仍然觉得，距离 f_{r}(n)=\Theta(n^{r-1}) ，近在咫尺…… 以上都是铺垫，更反直觉的事情在于，当 r\geqslant 3 时，f_{r}(n) 的渐近阶居然不是 \Theta(n^{r-1}) …… 前几天吧，Barnabas Janzer利用概率方法，和普通图上的一些结果，给出了一个构造，证明了： (B. Janzer,2021+) f_{r}(n)=\Omega(n^{r-1}\frac{\log{n}}{\log{\log{n}}}) 最后，改编一句前几天 @Max Xu 闲聊的时候他说的话，大意就是： “当你相信你的直觉和大多数的人直觉不一样时，要构造一个反直觉的例子是很容易的。” 我心里嘀咕：真的容易吗。。。 |
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各位别看轻了初等数学啊。 小学五年级看过一道题：说要分别给篮球和地球做一个“紧箍”类的绳套给套上。不小心都裁大了1m，问这两个球面到绳套间的距离哪一个大一点。 |
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从超过知识储备开始 只要没文化 一斤棉花和一斤铁一样重都是反直觉的 |
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